2020版高考数学一轮复习 第十二章 算法初步 第3讲 合情推理与演绎推理课件 理 新人教A版

第3讲合情推理与演绎推理基础知识整合1．合情推理2．演绎推理(1)定义：从出发，推出下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)特点：演绎推理是由的推理．(3)模式：“三段论”是演绎推理的一般模式．□10一般性的原理□11某个特殊情况□12一般到特殊1．合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．2．合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理．1．(2017·上海模拟)某西方国家流传这样一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误答案C答案解析∵大前提的形式：“鹅吃白菜”不是全称命题，大前提本身正确；小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但是不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比．∴不符合三段论的推理形式，∴推理形式错误．解析2．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是()A．10日和12日B．2日和7日C．4日和5日D．6日和11日答案D答案解析这12天的日期之和，S12＝122(1＋12)＝78，甲、乙、丙各自的值班日期之和是26，对于甲，剩余2天的值班日期之和是22，因此这两天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，12日值班；对于乙，剩余2天的值班日期之和是9，故乙可能在2日，7日，或者是4日，5日值班，因此丙必定值班的日期是6日和11日．故选D.解析3．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则()A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩答案D答案解析由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D.解析4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析因为两个正三角形是相似的三角形，所以它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方．所以它们的体积比为1∶8.解析答案1∶8答案5．(2019·银川模拟)下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是________．答案nn＋12答案解析由图知第1个图形的小正方形的个数为1，第2个图形的小正方形的个数为1＋2，第3个图形的小正方形的个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形的个数为1＋2＋3＋4，…，则第n个图形的小正方形的个数为1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12.解析6．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋at＝6at(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则a＋t＝________.解析根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为n＋nn2－1＝nnn2－1，所以当n＝6时a＝6，t＝35，a＋t＝41.解析答案41答案核心考向突破考向一归纳推理角度1数字的归纳例1(2019·陕西模拟)如图所示的数阵中，若A(m，n)表示第m行的第n个数，则依此规律A(15,2)为()A.2942B.710C.1724D.73102答案C答案解析由数阵知A(3,2)＝16＋16＝16＋23×4，A(4,2)＝16＋16＋110＝16＋23×4＋24×5，A(5,2)＝16＋16＋110＋115＝16＋23×4＋24×5＋25×6，…，则A(15,2)＝16＋23×4＋24×5＋25×6＋…＋215×16＝16＋2×13－14＋14－15＋…＋115－116＝16＋2×13－116＝16＋2×1348＝1724，选项C正确．解析角度2式子的归纳例2设函数f(x)＝xx＋2(x0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f[f1(x)]＝x3x＋4，f3(x)＝f[f2(x)]＝x7x＋8，f4(x)＝f[f3(x)]＝x15x＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f[fn－1(x)]＝________.解析根据题意知，各式中分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…，可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n－1，故fn(x)＝f[fn－1(x)]＝x2n－1x＋2n.解析答案x2n－1x＋2n答案角度3图形的归纳例3(2019·重庆模拟)如图所示，将正整数从小到大沿三角形的边成螺旋状排列起来，2在第一个拐弯处，4在第二个拐弯处，7在第三个拐弯处，…，则在第二十个拐弯处的正整数是________．答案211答案解析观察图可知，第一个拐弯处2＝1＋1，第二个拐弯处4＝1＋1＋2，第三个拐弯处7＝1＋1＋2＋3，第四个拐弯处11＝1＋1＋2＋3＋4，第五个拐弯处16＝1＋1＋2＋3＋4＋5，发现规律：拐弯处的数是从1开始的一串连续正整数相加之和再加1，在第几个拐弯处，就加到第几个正整数，所以第二十个拐弯处的正整数就是1＋1＋2＋3＋…＋20＝211.解析触类旁通归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号即可．2与式子有关的归纳推理①与不等式有关的推理.观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后即可.②与数列有关的推理.通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可.3与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性.即时训练1．(2019·浙江模拟)“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．如图是杨辉三角数阵，记an为图中第n行各个数之和，则a5＋a11的值为()A．528B．1020C．1038D．1040答案D答案解析第一行数字之和为a1＝1＝21－1，第二行数字之和为a2＝2＝22－1，第三行数字之和为a3＝4＝23－1，第四行数字之和为a4＝8＝24－1，……第n行数字之和为an＝2n－1，∴a5＋a11＝24＋210＝1040.故选D.解析2．(2019·荆州质检)若正偶数由小到大依次排列构成一个数列，则称该数列为“正偶数列”，且“正偶数列”有一个有趣的现象：①2＋4＝6；②8＋10＋12＝14＋16；③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30；……按照这样的规律，则2018所在等式的序号为()A．29B．30C．31D．32答案C答案解析由题意知，每个等式中正偶数的个数组成等差数列3,5,7，…，2n＋1，其前n项和Sn＝n[3＋2n＋1]2＝n(n＋2)．所以S31＝1023.则第31个等式中最后一个偶数是1023×2＝2046，且第31个等式中含有2×31＋1＝63个偶数，故2018在第31个等式中．解析3．如图，在平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)处：点(1,0)处标b1，点(1，－1)处标b2，点(0，－1)处标b3，点(－1，－1)处标b4，点(－1,0)处标b5，点(－1，1)处标b6，点(0,1)处标b7，…，以此类推，则b963处的格点的坐标为________．答案(16,13)答案解析观察已知点(1,0)处标b1，即b1×1，点(2,1)处标b9，即b3×3，点(3,2)处标b25，即b5×5，…，由此推断点(n，n－1)处标b(2n－1)×(2n－1)，因为961＝31×31时，n＝16，故b961处的格点的坐标为(16,15)，从而b963处的格点的坐标为(16,13)．解析考向二类比推理例4(1)(2019·河北正定模拟)已知a，b，c是△ABC的内角A，B，C对应的三边，若满足a2＋b2＝c2，即ac2＋bc2＝1，则△ABC为直角三角形，类比此结论可知，若满足an＋bn＝cn(n∈N，n≥3)，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能答案A答案解析由题意知角C最大，an＋bn＝cn(n∈N，n≥3)即acn＋bcn＝1(n∈N，n≥3)，又ca，cb，所以ac2＋bc2acn＋bcn＝1，即a2＋b2c2，所以cosC＝a2＋b2－c22ab0，所以0Cπ2，故△ABC为锐角三角形．解析(2)在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面的面积，S4表示截面的面积，那么类比得到的结论是________．答案S21＋S22＋S23＝S24答案解析将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S21＋S22＋S23＝S24.解析触类旁通类比推理的分类类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法．1类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解.2类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键.3类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移.即时训练4.若等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，则数列Snn为等差数列，公差为d2.类似，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则等比数列{nTn}的公比为()A.q2B．q2C.qD.nq答案C答案解析由题设有，Tn＝b1·b2·b3·…·bn＝b1·b1q·b1q2·…·b1qn－1＝bn1q1＋2＋…＋(n－1)＝bn1qn－1n2.∴nTn＝b1qn－12，∴等比数列{nTn}的公比为q.故选C.解析5．“解方程35x＋45x＝1”有如下思路：设f(x)＝35x＋45x，则f(x)在R上单调递减，且f(2)＝1，故原方程有唯一解x＝2.类比上述思路，不等式x6－(x＋2)(x＋2)3－x2的解集是________．解析不等式化为x6＋x2(x＋2)3＋(x＋2)，设g(x)＝x3＋x，则g(x)在R上单调递增，所以不等式即g(x2)g(x＋2)，所以x2x＋2，解得x2或x－1.解析答案{x|x2或x－1}答案考向三演绎推理例5(2019·山东调研)数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝n＋2nSn(n∈N*)．证明：(1)数列Snn是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.证明(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝n＋2nSn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.∴Sn＋1n＋1＝2·Snn，(小前提)故Snn是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，