2020版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第3讲 导数与函数的极值、最值课件 理 新人教A版

第3讲导数与函数的极值、最值基础知识整合1．导数与函数的极值(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值—_________，且f′(a)＝0，而且在x＝a附近的左侧_________，右侧____________，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值；□01都小□02f′(x)0□03f′(x)＞0(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值__________，且f′(b)＝0，而且在x＝b附近的左侧__________，右侧__________，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．□04都大□05f′(x)＞0□06f′(x)＜02．导数与函数的最值(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条______________的曲线，那么它必有最大值和最小值．□07连续不断(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的______________．②将函数y＝f(x)的各极值与_______________________________比较，其中____________的一个是最大值，____________的一个是最小值．□08极值□09端点处的函数值f(a)，f(b)□10最大□11最小1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．2．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．3．极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．1．函数f(x)＝43x3－6x2＋8x的极值点是()A．x＝1B．x＝－2C．x＝－2和x＝1D．x＝1和x＝2答案D答案解析f′(x)＝4x2－12x＋8＝4(x－2)(x－1)，则结合列表可得函数f(x)的极值点为x＝1和x＝2.故选D.解析2．(2019·黑龙江模拟)设函数f(x)＝xex，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点答案D答案解析f′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex.令f′(x)＝0，则x＝－1.当x－1时，f′(x)0，当x－1时，f′(x)0，所以x＝－1为f(x)的极小值点．解析3．(2019·岳阳模拟)函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为()A．1－eB．－1C．－eD．0答案B答案解析因为f′(x)＝1x－1＝1－xx，当x∈(0,1)时，f′(x)0；当x∈(1，e]时，f′(x)0，所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln1－1＝－1.故选B.解析4．若函数y＝ex＋mx有极值，则实数m的取值范围是()A．m0B．m0C．m1D．m1答案B答案解析y′＝ex＋m，则ex＋m＝0必有根，∴m＝－ex0.解析5．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是()A．－37B．－29C．－5D．以上都不对答案A答案解析∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，∴f(x)在(－2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，∴x＝0为极大值点，也为最大值点，∴f(0)＝m＝3，∴m＝3.∴f(－2)＝－37，f(2)＝－5.∴最小值是－37.故选A.解析6．(2019·宁夏中卫市模拟)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，给出下列命题：①－3是函数y＝f(x)的极小值点；②－1是函数y＝f(x)的极小值点；③y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率小于零；④y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增．则正确命题的序号是()A．①④B．①②C．②③D．③④答案A答案解析由图可知x－3时，f′(x)0，x∈(－3,1)时f′(x)0，∴－3是f(x)的极小值点，①正确；又x∈(－3，1)时f′(x)≥0，∴f(x)在区间(－3,1)上单调递增，故②不正确，④正确．∵函数y＝f(x)在x＝0处的导数大于0，∴y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率大于0.∴③不正确．故选A.解析核心考向突破考向一导数与函数的极值角度1知图判断函数极值情况例1(2019·贵阳模拟)已知函数y＝f′xx的图象如图所示(其中f′(x)是定义域为R的函数f(x)的导函数)，则以下说法错误的是()A．f′(1)＝f′(－1)＝0B．当x＝－1时，函数f(x)取得极大值C．方程xf′(x)＝0与f(x)＝0均有三个实数根D．当x＝1时，函数f(x)取得极小值答案C答案解析由图象可知f′(1)＝f′(－1)＝0，A说法正确．当x－1时，f′xx0，此时f′(x)0；当－1x0时，f′xx0，此时f′(x)0，故当x＝－1时，函数f(x)取得极大值，B说法正确．当0x1时，f′xx0，此时f′(x)0；当x1时，f′xx0，此时f′(x)0，故当x＝1时，函数f(x)取得极小值，D说法正确．故选C.解析角度2已知函数解析式求极值例2(1)已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()A．－427，0B．0，－427C.427，0D．0，427答案C答案解析由题意知，f′(x)＝3x2－2px－q，由f′(1)＝0，f(1)＝0，得3－2p－q＝0，1－p－q＝0，解得p＝2，q＝－1，∴f(x)＝x3－2x2＋x，由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0，得x＝13或x＝1，易得当x＝13时，f(x)取极大值427，当x＝1时，f(x)取极小值0.解析(2)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)·(x－1)k(k＝1,2)，则()A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值答案C答案解析因为f′(x)＝(x－1)k－1[ex(x－1＋k)－k]，当k＝1时，f′(1)0，故1不是函数f(x)的极值点，当k＝2时，在1左边f′(x)0，函数f(x)单调递减，在1右边f′(x)0，函数f(x)单调递增，故f(x)在x＝1处取到极小值．故选C.解析角度3已知函数的极值求参数范围例3(1)函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则a，b的值为()A．a＝3，b＝－3，或a＝－4，b＝11B．a＝－4，b＝1，或a＝－4，b＝11C．a＝－1，b＝5D．以上都不正确答案D答案解析f′(x)＝3x2－2ax－b，依题意，有f′1＝0，f1＝10，即3－2a－b＝0，1－a－b＋a2＝10，解得a＝－4，b＝11，或a＝3，b＝－3.当a＝3且b＝－3时，f′(x)＝3x2－6x＋3≥0，函数f(x)无极值点，故符合题意的只有a＝－4，b＝11.故选D.解析(2)(2019·沈阳模拟)设函数f(x)＝lnx－12ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为________．答案a－1答案解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－ax－b，由f′(1)＝0，得b＝1－a，∴f′(x)＝1x－ax＋a－1＝－ax2＋1＋ax－xx＝－ax＋1x－1x.①若a≥0，当0x1时，f′(x)0，f(x)单调递增；当x1时，f′(x)0，f(x)单调递减，所以x＝1是f(x)的极大值点．②若a0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1a.因为x＝1是f(x)的极大值点，所以－1a1，解得－1a0.综合①②得a的取值范围是a－1.解析触类旁通函数极值问题的常见类型及解题策略(1)已知导函数图象判断函数极值的情况．先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．2已知函数求极值.求f′x―→求方程f′x＝0的根―→列表检验f′x在f′x＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.3已知极值求参数.若函数fx在点x0，y0处取得极值，则f′x0＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.即时训练1.(2019·福建莆田月考)若x＝1是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极大值为()A．－1B．－2e－3C．5e－3D．1答案C答案解析f′(x)＝(x2＋(2＋a)x＋a－1)ex－1，由f′(1)＝0得a＝－1.∴由f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝0得x＝－2或1.又当x－2时，f′(x)0，当－2x1时，f′(x)0，∴f(x)的极大值为f(－2)＝5e－3.故选C.解析2．(2018·江门模拟)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)答案D答案解析由图可得函数y＝(1－x)f′(x)的零点为－2,1,2，则当x1时，1－x0，此时在(－∞，－2)上f′(x)0，在(－2,1)上f′(x)0；当x1时，1－x0，此时在(1,2)上f′(x)0，在(2，＋∞)上f′(x)0.所以f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，因此f(x)有极大值f(－2)，极小值f(2)．故选D.解析3．若函数f(x)＝ax22－(1＋2a)x＋2lnx(a0)在区间12，1内有极大值，则a的取值范围是()A.1e，＋∞B．(1，＋∞)C．(1,2)D．(2，＋∞)答案C答案解析f′(x)＝ax－(1＋2a)＋2x＝x－2ax－1x(x0)，由题意知121a1，解得1a2.故选C.解析考向二导数与函数的最值例4(2019·苏州模拟)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．解(1)f′(x)＝1x－a(x0)，①当a≤0时，f′(x)＝1x－a0，即函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．②当a0时，令f′(x)＝1x－a＝0，可得x＝1a.当0x1a时，f′(x)＝1－axx0；当x1a时，f′(x)＝1－axx0，答案故函数f(x)的单调递增区间为0，1a，单调递减区间为1a，＋∞.(2)①当1a≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，∴f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a.②当1a≥2，即0a≤12时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，∴f(x)的最小值是f(1)＝－a.答案③当11a2，即12a1时，函数f(x)在1，1a上是增函数，在1a，2上是减函数．又f(2)－f(1)＝ln2－a，∴当12aln2时，最小值是f(1)＝－a；当ln2≤a1时，最小值为f(2)＝ln2－2a.综上可知，当0aln2时，函数f(x)的最小值是－a；当a≥ln2时，函数f(x)的最小值是ln2－2a.答案触类旁通利用导数求函数最值的方法当函数在一个区间内只有唯一的极小(大)值时，这个极小(大)值就是最小(大)值；当函数在一个区间内的极值有多个时，就要把这些极值和区间的端点值进行比较，比较大小的基本方法之一就是作差法．即时训练4.(2019·山东师大附中模拟