2020版高考数学一轮复习 第六章 数列 第2讲 等差数列及其前n项和课件 理 新人教A版

第2讲等差数列及其前n项和1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从起，每一项与它的前一项的都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是，其中A叫做a，b的．□01第2项□02差□03an＋1－an＝d□04A＝a＋b2□05等差中项2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝.(2)前n项和公式：Sn＝＝.□06a1＋(n－1)d□07na1＋nn－12d□08na1＋an2等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d,则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(6)等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等差数列，其公差为n2d.(7)若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝anan＋1.(8)若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则S奇－S偶＝an，S奇S偶＝nn－1(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)．(9)由公式Sn＝na1＋nn－1d2得Snn＝a1＋n－12d＝d2n＋a1－d2，因此数列Snn是等差数列，首项为a1，公差为等差数列{an}公差的一半．1．(2019·河北邯郸模拟)在等差数列{an}中，a3＋a4＝12，公差d＝2，则a9＝()A．14B．15C．16D．17解析a3＋a4＝12⇒2a1＋5d＝12，d＝2⇒a1＝1，∴a9＝a1＋8d＝1＋16＝17.故选D.解析答案D答案2．(2018·全国卷Ⅰ)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A．－12B．－10C．10D．12解析设该等差数列的公差为d，根据题中的条件可得3×3×2＋3×22·d＝2×2＋d＋4×2＋4×32·d，整理解得d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2－12＝－10.故选B.解析答案B答案3．(2019·湖北武汉调研)若等差数列{an}的前n项和Sn满足S4＝4，S6＝12，则S2＝()A．－1B．0C．1D．3解析根据等差数列的性质，可得S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，即2(S4－S2)＝S2＋S6－S4，因此S2＝0.解析答案B答案4．(2019·宁夏银川模拟)在等差数列{an}中，S5＝25，a2＝3，则a7＝()A．13B．12C．15D．14解析∵S5＝5a1＋a52＝5a3＝25，∴a3＝5，又a2＝3，∴d＝a3－a2＝2，∴a7＝a3＋4d＝5＋8＝13.故选A.解析答案A答案5．(2019·辽宁模拟)在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a3＋a4＋a8＝25，则S9＝()A．60B．75C．90D．105解析由等差数列的性质知a3＋a4＋a8＝3a5＝25.∴a5＝253，∴S9＝9a1＋a92＝9a5＝75.故选B.解析答案B答案6．(2019·长春市模拟)等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d0，则其前n项和取最小值时的n的值为()A．6B．7C．8D．9答案C答案解析∵|a6|＝|a11|且公差d0，∴a6＝－a11，∴a6＋a11＝a8＋a9＝0，且a80，a90，∴a1a2…a80a9a10…∴使Sn取最小值的n的值为8.故选C.解析核心考向突破考向一等差数列的基本运算例1(1)(2019·西安八校联考)设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则()A．S4S3B．S4＝S3C．S4S1D．S4＝S1答案B答案解析设{an}的公差为d，由a2＝－6，a6＝6，得a1＋d＝－6，a1＋5d＝6，解得a1＝－9，d＝3.于是，S1＝－9，S3＝3×(－9)＋3×22×3＝－18，S4＝4×(－9)＋4×32×3＝－18，所以S4＝S3，S4S1.故选B.解析(2)(2019·潍坊模拟)在等差数列{an}中，公差d≠0，若lga1，lga2，lga4也成等差数列，且a5＝10，则{an}的前5项和S5＝()A．40B．35C．30D．25解析因为lga1，lga2，lga4成等差数列，所以2lga2＝lga1＋lga4⇒lga22＝lga1a4⇒a22＝a1a4⇒d2＝a1d，因为d≠0，所以a1＝d，又a5＝a1＋4d＝10，所以a1＝2，d＝2，S5＝5a1＋5×42d＝30.选C.解析答案C答案(3)(2018·上海高考)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝0，a6＋a7＝14，则S7＝________.解析设数列{an}的公差为d，则a6＋a7＝2a3＋7d＝14，又∵a3＝0，∴d＝2，∴a4＝a3＋d＝2.∴S7＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝7a4＝14.解析答案14答案触类旁通等差数列计算中的两个技巧(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．2数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量转换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.即时训练1.(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为()A．1B．2C．4D．8解析设{an}的公差为d，则由a4＋a5＝24，S6＝48，得a1＋3d＋a1＋4d＝24，6a1＋6×52d＝48，解得d＝4.故选C.解析答案C答案2．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a22＝－3，S5＝10，则a9的值是________．解析设等差数列{an}的公差为d，则a1＋a22＝a1＋(a1＋d)2＝－3，S5＝5a1＋10d＝10，解得a1＝－4，d＝3，则a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.解析答案20答案3．已知数列{an}中，a3＝7，a7＝3，且1an－1是等差数列，则a10＝________.答案73答案解析设等差数列1an－1的公差为d，则1a3－1＝16，1a7－1＝12.∵1an－1是等差数列，∴1a7－1＝1a3－1＋4d，即12＝16＋4d，解得d＝112，故1a10－1＝1a3－1＋7d＝16＋7×112＝34，解得a10＝73.解析考向二等差数列的性质角度1等差数列项的性质例2(1)(2019·温州模拟)等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－13a11的值是()A．14B．15C．16D．17答案C答案解析因为{an}是等差数列，所以a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝5a8＝120，所以a8＝24.所以a9－13a11＝a8＋d－13(a8＋3d)＝23a8＝16.故选C.解析(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a5＋a8＝30，则下列一定为定值的是()A．S6B．S7C．S8D．S9解析由a2＋a5＋a8＝30可得3a5＝30，所以a5＝10，S6＝3(a1＋a6)不一定是定值；S7＝72(a1＋a7)不一定是定值；S8＝4(a1＋a8)不一定是定值；S9＝a1＋a9×92＝2a5×92＝90.选D.解析答案D答案触类旁通等差数列项的性质：利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想，应用时常将an＋am＝2ak(n＋m＝2k，n，m，k∈N*)与am＋an＝ap＋aq(m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*)相结合，可减少运算量．即时训练4.(2019·河南豫南、豫北联考)等差数列{an}中，a4＋a10＋a16＝30，则a18－2a14的值为()A．20B．－20C．10D．－10解析∵a4＋a10＋a16＝3a10＝30，∴a10＝10，又2a14＝a18＋a10，∴a18－2a14＝－a10＝－10，故选D.解析答案D答案5．(2019·福建漳州模拟)在等差数列{an}中，若S9＝18，Sn＝240，an－4＝30，则n的值为()A．14B．15C．16D．17解析由等差数列的性质知S9＝9a1＋a92＝9a5＝18，∴a5＝2，又an－4＝30.∴Sn＝na1＋an2＝nan－4＋a52＝16n＝240，∴n＝15.故选B.解析答案B答案角度2等差数列和的性质例3(1)(2019·四川双流中学模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝5，则S40＝()A．7B．8C．9D．10答案B答案解析由等差数列的性质知S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，∴S20＝S10＋S303＝1＋53＝83.∴d＝(S20－S10)－S10＝23，∴S40－5＝1＋3×23＝3，∴S40＝8.故选B.解析(2)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d＝________.答案5答案解析设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得S奇＋S偶＝354，S偶∶S奇＝32∶27，解得S偶＝192，S奇＝162.又S偶－S奇＝6d，所以d＝192－1626＝5.解析触类旁通等差数列和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝na1＋a2n＝…＝nan＋an＋1；S2n－1＝2n－1an；若n为偶数，则S偶－S奇＝nd2；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中中间项.即时训练6.(2019·大同模拟)在等差数列{an}中，a1＋a2＋…＋a50＝200，a51＋a52＋…＋a100＝2700，则a50＝()A．－22.5B．－21.5C．28.5D．20解析由(a51＋a52＋…＋a100)－(a1＋a2＋…＋a50)＝50×50d＝2700－200，得d＝1.由a1＋a100＋a2＋a99＋…＋a50＋a51＝50(a50＋a51)＝2700＋200，得a50＋a51＝58，即2a50＋d＝58，所以a50＝58－12＝572＝28.5.故选C.解析答案C答案7．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3S6＝13，则S6S12＝()A.310B.13C.18D.19解析令S3＝1，则S6＝3，∴S9＝1＋2＋3＝6.S12＝S9＋4＝10，∴S6S12＝310.故选A.解析答案A答案考向三等差数列的判定与证明例4(1)(2019·辽宁模拟)数列{an}满足a1＝2，a2＝1并且1an－1＝2an－1an＋1(n≥2)，则数列{an}的第100项为()A.1100B.150C.12100D.1250答案B答案解析∵1an－1＝2an－1an＋1(n≥2)，∴1an＋1＋1an－1＝2an，∴1an为等差数列，首项为1a1＝12，第二项为1a2＝1，∴d＝12，∴1a100＝1a1＋99d＝50，∴a100＝150.解析(2)(2019·昆明模拟)在数列{an}中，a1＝35，an＋1＝2－1an，设bn＝1an－1，数列{bn}的前n项和是Sn.①证明数列{bn}是等差数列，并求Sn；②比较an与Sn＋7的大小．解①证明：∵bn＝1an－1，an＋1＝2－1an