2020版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第7讲 抛物线配套课时作业课件 理 新人教A版

配套课时作业1．(2019·广东四校联考)已知抛物线y2＝2px(p0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为()A．4B．9C．10D．18解析抛物线y2＝2px的焦点为p2，0，准线方程为x＝－p2.由题意可得4＋p2＝9，解得p＝10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为10.解析答案C答案2．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x0＝()A．1B．2C．4D．8解析由题意知抛物线的准线为x＝－14.因为|AF|＝54x0，根据抛物线的定义可得x0＋14＝|AF|＝54x0，解得x0＝1.故选A.解析答案A答案3．(2019·山西模拟)抛物线x2＝4y上一点P到焦点的距离为3，则点P到y轴的距离为()A．22B．1C．2D．3解析根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为y＝－1.根据抛物线的定义，得yP＋1＝3，解得yP＝2，代入抛物线方程求得xP＝±22，∴点P到y轴的距离为22.故选A.解析答案A答案4．(2019·湖南师大附中模拟)设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为()A．x＝－4B．x＝－3C．x＝－2D．x＝－1解析把y＝0代入2x＋3y－8＝0，得2x－8＝0，解得x＝4，∴抛物线y2＝2px的焦点坐标为(4,0)，∴抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－4.故选A.解析答案A答案5．过抛物线C：x2＝2y的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若抛物线C在点B处的切线斜率为1，则|AF|＝()A．1B．2C．3D．4解析∵x2＝2y，∴y＝x22，∴y′＝x，∵抛物线C在点B处的切线斜率为1，∴B1，12，∵抛物线x2＝2y的焦点F的坐标为0，12，∴直线l的方程为y＝12，∴|AF|＝|BF|＝1.故选A.解析答案A答案6．(2019·湖南长沙模拟)A是抛物线y2＝2px(p0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|＝4时，∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是()A．x＝－1B．y＝－1C．x＝－2D．y＝－2解析过A向准线作垂线，设垂足为B，准线与x轴的交点为D.因为∠OFA＝120°，所以△ABF为等边三角形，∠DBF＝30°，从而p＝|DF|＝2，因此抛物线的准线方程为x＝－1.选A.解析答案A答案7．过点P(－2,0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且|PA|＝12|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为()A.53B.75C.97D．2答案A答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过A，B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为D，E.∵|PA|＝12|AB|，∴3x1＋2＝x2＋2，3y1＝y2.又∵y21＝4x1，y22＝4x2，得x1＝23，则点A到抛物线C的焦点的距离为1＋23＝53.解析8．(2019·安徽合肥检测)已知双曲线y24－x2＝1的两条渐近线分别与抛物线y2＝2px(p0)的准线交于A，B两点．O为坐标原点．若△OAB的面积为1，则p的值为()A．1B.2C．22D．4答案B答案解析双曲线的两条渐近线方程为y＝±2x，抛物线的准线方程为x＝－p2，故A，B两点的坐标为－p2，±p，|AB|＝2p，所以S△OAB＝12×2p×p2＝p22＝1，解得p＝2，故选B.解析9．(2019·湖北襄阳测试)已知抛物线y＝12x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝2|NF|，则|MF|＝()A．2B．3C.2D.3答案C答案解析如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝2|NH|，则∠NMH＝45°.在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝2|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝2.故选C.解析10．已知直线ax＋y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则直线与抛物线相交弦的弦长为()A．6B．7C．8D．9解析设抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，则点F在直线ax＋y＋1＝0上，∴a＋1＝0，即a＝－1，∴直线方程为x－y－1＝0.联立x－y－1＝0，y2＝4x，得x2－6x＋1＝0.设直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.解析答案C答案11．如图所示，抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是()A．4B．33C．43D．8答案C答案解析由题意可得F(1,0)，直线AF：y＝3(x－1)，代入y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0，解得x＝3或x＝13.由于点A在x轴上方，所以其坐标为(3,23)．∵|AF|＝|AK|＝3＋1＝4，AF的斜率为3，即倾斜角为60°，∴∠KAF＝60°，∴△AKF为等边三角形，∴△AKF的面积为34×42＝43.解析12．(2018·安徽模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为()A.22B.2C.322D．22答案C答案解析由题意可得焦点F(1,0)，设A，B分别在第一、四象限，则点A到准线l：x＝－1的距离为3，得点A的横坐标为2，纵坐标为22，AB的方程为y＝22(x－1)，与抛物线方程联立可得2x2－5x＋2＝0，所以点B的横坐标为12，纵坐标为－2，故S△AOB＝12×1×(22＋2)＝322.解析13．(2019·湖北黄冈质量检测)若抛物线y＝ax2的焦点F的坐标为(0，－1)，则实数a的值为________．解析因为抛物线y＝ax2，所以x2＝1ay.由焦点F的坐标为(0，－1)，得－14a＝1，所以a＝－14.解析答案－14答案14．(2018·郑州模拟)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，若|AF|＋|BF|＝5，则线段AB的中点到y轴的距离为________．解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由抛物线的定义可得|AF|＋|BF|＝5，即x1＋14＋x2＋14＝5，解得x1＋x2＝92，所以线段AB的中点到y轴的距离为x1＋x22＝94.解析答案94答案15．设P为抛物线y2＝2px(p0)上任意一点，F为抛物线的焦点，定点A(1,3)，且|PA|＋|PF|的最小值为10，则此抛物线的方程为________．答案y2＝8x答案解析若A(1,3)在抛物线内部，则|PA|＋|PF|的最小值为1＋p2＝10，故2p＝4(10－1)，抛物线的方程为y2＝4(10－1)x，此时A(1,3)在抛物线外部，不符合题意．若A(1,3)在抛物线外部，则|PA|＋|PF|的最小值为|AF|＝p2－12＋9＝10，故p＝4，抛物线的方程为y2＝8x，此时A(1,3)在抛物线外部，符合题意．解析16．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.答案2答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y21＝4x1，y22＝4x2，所以y21－y22＝4x1－4x2，所以k＝y1－y2x1－x2＝4y1＋y2.取AB的中点M′(x0，y0)，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′.设抛物线C的焦点为F，因为∠AMB＝90°，所以|MM′|＝12|AB|＝12(|AF|＋|BF|)＝12(|AA′|＋|BB′|)．因为M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴．因为M(－1,1)，所以y0＝1，则y1＋y2＝2，所以k＝2.解析17．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．解(1)由题意，得F(1,0)，直线l的方程为y＝k(x－1)(k0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y＝kx－1，y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.答案Δ＝16k2＋160，故x1＋x2＝2k2＋4k2.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝4k2＋4k2.由题设知4k2＋4k2＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此，l的方程为y＝x－1.答案(2)由(1)，得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则y0＝－x0＋5，x0＋12＝y0－x0＋122＋16，解得x0＝3，y0＝2或x0＝11，y0＝－6.因此，所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.答案18．(2019·广西南宁联考)已知抛物线C：y2＝ax(a0)上一点Pt，12到焦点F的距离为2t.(1)求抛物线C的方程；(2)抛物线C上一点A的纵坐标为1，过点Q(3，－1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．解(1)由抛物线的定义及题意可知|PF|＝t＋a4＝2t，解得a＝4t.∵点Pt，12在抛物线C上，∴at＝14，∴a·a4＝14，∴a2＝1.∵a0，∴a＝1，∴抛物线C的方程为y2＝x.答案(2)证明：∵点A在抛物线C上，且yA＝1，∴xA＝1.∴A(1,1)．设过点Q(3，－1)的直线的方程为x－3＝m(y＋1)，即x＝my＋m＋3，代入y2＝x，得y2－my－m－3＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝m，y1y2＝－m－3.答案∴k1k2＝y1－1x1－1·y2－1x2－1＝y1y2－y1＋y2＋1m2y1y2＋mm＋2y1＋y2＋m＋22＝－12.∴k1k2为定值．答案19．(2019·安徽皖南八校联考)过抛物线C：x2＝2py(p0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.(1)求抛物线C的方程；(2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程．解(1)抛物线C：x2＝2py(p0)的准线方程为y＝－p2，焦点为F0，p2.∵当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2，∴1＋p2＝2，解得p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y.答案(2)∵点M(－2，y0)在抛物线C上，∴y0＝－224＝1.又∵F(0,1)，∴设直线l的方程为y＝kx＋1.由y＝kx＋1，x2＝4y，得x2－4kx－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，MA→＝(x1＋2，y1－1)，MB→＝(x2＋2，y2－1)．∵MA⊥MB，∴MA→·MB→＝0，答案∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，∴－4＋8k＋4－4k2＝0.解得k＝2或k＝0.当k＝0时，l过点M(舍去)，∴k＝2，∴直线l的方程为y＝2x＋1.答案20．(2018·北京朝阳模拟)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过抛物线C上的动点P(除顶点O外)作C的切线l交x轴于点T.过点O作直线l的垂线OM(垂足为点M)与直线PF交于点N.(1)求焦点F的坐标；(2)求证：FT∥MN；(3)求线段FN的长．解(1)由抛物线方程x2＝4y，得p2＝1，∴F(0,1)．(2)证明：设P(x0，y0)．由x2＝4y，得y＝14x2，则过点P的抛物线C的切线l的斜率k＝y′|x＝x0＝12x0.则过点P的抛物线C的切线l的方程为y＝12x0x－14x20.