2020版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第6讲 双曲线配套课时作业课件 理 新人教A版

配套课时作业1．双曲线x236－m2－y2m2＝1(0m3)的焦距为()A．6B．12C．36D．236－2m2答案B答案解析c2＝36－m2＋m2＝36，∴c＝6.双曲线的焦距为12.解析2．(2017·全国卷Ⅱ)若a＞1，则双曲线x2a2－y2＝1的离心率的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(2，2)C．(1，2)D．(1,2)答案C答案解析由题意得双曲线的离心率e＝a2＋1a.∴e2＝a2＋1a2＝1＋1a2.∵a1，∴01a21，∴11＋1a22，∴1e2.故选C.解析3．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线为y＝kx(k0)，离心率e＝5k，则双曲线的方程为()A.x2a2－y24a2＝1B.x2a2－y25a2＝1C.x24b2－y2b2＝1D.x25b2－y2b2＝1答案C答案解析由已知得，ba＝k，ca＝5k，a2＋b2＝c2，解得a2＝4b2.解析4．双曲线x2－y2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是()A．m12B．m≥1C．m1D．m2答案C答案解析在双曲线x2－y2m＝1中，a＝1，b＝m，则c＝1＋m，离心率e＝ca＝1＋m12，解得m1.解析5．(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－y23＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为()A.13B.12C.23D.32答案D答案解析因为F是双曲线C：x2－y23＝1的右焦点，所以F(2，0)．因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP)．因为P是C上一点，所以4－y2P3＝1，解得yP＝±3，所以P(2，±3)，|PF|＝3.又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，所以S△APF＝12×|PF|×1＝12×3×1＝32.故选D.解析6．(2019·辽宁凌源联考)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的顶点(a,0)到渐近线y＝bax的距离为b2，则双曲线C的离心率是()A．2B．3C．4D．5答案A答案解析因为顶点(a,0)到渐近线y＝bax的距离d＝aba2＋b2＝b2，所以ac＝12，所以e＝ca＝2.故选A.解析7．(2019·河北衡水中学模拟)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点F(c,0)作其渐近线y＝32x的垂线，垂足为点M.若S△OMF＝43(O为坐标原点)，则该双曲线的标准方程为()A.x24－y33＝1B.x28－y26＝1C.x216－y212＝1D.x232－y224＝1答案C答案解析由题意得ba＝32，a0，b0，12ab＝43，解得a＝4，b＝23，∴双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的标准方程为x216－y212＝1.故选C.解析8．(2019·吉林联考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝2|PF2|.若cos∠F1PF2＝14，则该双曲线的离心率等于()A.22B.52C．2D.3＋1答案C答案解析由题意得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，所以cos∠F1PF2＝16a2＋4a2－4c22×4a×2a＝14，所以c2＝4a2，所以e＝2.故选C.解析9．已知点P在曲线C1：x216－y29＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是()A．6B．8C．10D．12答案C答案解析由题意可知点C3，C2分别是双曲线C1：x216－y29＝1的左、右焦点，点P在双曲线的左支上，则|PC2|－|PC3|＝8.|PQ|max＝|PC2|＋1，|PR|min＝|PC3|－1，所以|PQ|－|PR|的最大值为(|PC2|＋1)－(|PC3|－1)＝|PC2|－|PC3|＋2＝8＋2＝10.故选C.解析10．(2019·河南豫南、豫北联考)已知直线y＝x＋1与双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)交于A，B两点，且线段AB的中点M的横坐标为1，则该双曲线的离心率为()A.2B.3C．2D.5答案B答案解析由题意得M(1,2)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入双曲线方程，两式相减并整理得y21－y22x21－x22＝b2a2＝kAB·kOM＝2.∴b2＝2a2，即c2－a2＝2a2，∴e＝3.故选B.解析11．(2019·安徽淮南联考)已知双曲线x24－y22＝1的右焦点F，P为双曲线左支上一点，点A(0，2)，则△APF的周长的最小值为()A．4＋2B．4(1＋2)C．2(2＋6)D.6＋32答案B答案解析双曲线x24－y22＝1的右焦点为F(6，0)，设其左焦点为F′.△APF的周长l＝|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2a＋|PF′|，要使△APF周长最小，只需|AP|＋|PF′|最小．如图，当A，P，F′三点共线时l取到最小值，且lmin＝2|AF|＋2a＝4(1＋2)．故选B.解析12．(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝6|OP|，则C的离心率为()A.5B．2C.3D.2答案C答案解析由题可知|PF2|＝b，|OF2|＝c，∴|PO|＝a.在Rt△POF2中，cos∠PF2O＝|PF2||OF2|＝bc，∵在△PF1F2中，cos∠PF2O＝|PF2|2＋|F1F2|2－|PF1|22|PF2||F1F2|＝bc，∴b2＋4c2－6a22b·2c＝bc⇒c2＝3a2，∴e＝3.故选C.解析13．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y＝±12x，则该双曲线的标准方程为________．答案x24－y2＝1答案解析根据渐近线方程为x±2y＝0，可设双曲线方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(4，3)，所以42－4×(3)2＝λ，即λ＝4.故双曲线的标准方程为x24－y2＝1.解析14．(2019·海口调研)已知点F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线左支上的一点，且|PF2|＝2|PF1|，若△PF1F2为等腰三角形，则双曲线的离心率为________．答案2答案解析∵|PF2|－|PF1|＝2a，|PF2|＝2|PF1|，∴|PF2|＝4a，|PF1|＝2a，∵△PF1F2为等腰三角形，∴|PF2|＝|F1F2|，即4a＝2c，∴ca＝2.解析15．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P，且∠PF1F2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．答案y＝±2x答案解析根据已知可得，|PF1|＝2b2a且|PF2|＝b2a，故2b2a－b2a＝2a，所以b2a2＝2，ba＝2，双曲线的渐近线方程为y＝±2x.解析16．(2019·厦门模拟)已知双曲线x23－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，点Q的坐标为(－2,3)，则|PQ|＋|PF1|的最小值为________．答案5＋23答案解析由x23－y2＝1，得a2＝3，b2＝1.∴c2＝a2＋b2＝4，则c＝2，则F2(2,0)，∵|PF1|－|PF2|＝23，∴|PF1|＝23＋|PF2|，则|PQ|＋|PF1|＝|PQ|＋|PF2|＋23，当Q，P，F2三点共线时，|PQ|＋|PF2|最小，等于|QF2|，∵Q(－2,3)，F2(2,0)，∴|QF2|＝－2－22＋3－02＝5，∴|PQ|＋|PF1|的最小值为5＋23.解析17．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F(c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解(1)∵双曲线的渐近线为y＝±bax，∴a＝b，∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，∴a2＝b2＝2，∴双曲线方程为x22－y22＝1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，∴直线AO的斜率满足y0x0·(－3)＝－1，∴x0＝3y0，①依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，答案将①代入圆的方程，得3y20＋y20＝c2，即y0＝12c，∴x0＝32c，∴点A的坐标为32c，c2，将其代入双曲线方程，得34c2a2－14c2b2＝1，即34b2c2－14a2c2＝a2b2.②又∵a2＋b2＝c2，∴将b2＝c2－a2代入②式，整理得答案34c4－2a2c2＋a4＝0，∴3ca4－8ca2＋4＝0，∴(3e2－2)(e2－2)＝0.∵e1，∴e＝2，∴双曲线的离心率为2.答案18．(2019·承德模拟)已知点M(－2,0)，N(2,0)，动点P满足条件|PM|－|PN|＝22，记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程；(2)若A和B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OA→·OB→的最小值．解(1)由|PM|－|PN|＝22知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a＝2.又焦距2c＝4，所以虚半轴长b＝c2－a2＝2.所以W的方程为x22－y22＝1(x≥2)．(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．当AB⊥x轴时，x1＝x2，y1＝－y2，答案从而OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝x21－y21＝2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m(k≠±1)，与W的方程联立，消去y得(1－k2)x2－2kmx－m2－2＝0，则x1＋x2＝2km1－k2，x1x2＝m2＋2k2－1，所以OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝1＋k2m2＋2k2－1＋2k2m21－k2＋m2答案＝2k2＋2k2－1＝2＋4k2－1.又因为x1x20，所以k2－10.所以OA→·OB→2.综上所述，当AB⊥x轴时，OA→·OB→取得最小值2.答案19．(2019·上海崇明模拟)已知点F1，F2为双曲线C：x2－y2b2＝1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2＝30°.(1)求双曲线C的方程；(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1，P2，求PP1→·PP2→的值．解(1)设F2，M的坐标分别为(1＋b2，0)，(1＋b2，y0)(y00)，因为点M在双曲线C上，所以1＋b2－y20b2＝1，则y0＝b2，所以|MF2|＝b2.在Rt△MF2F1中，∠MF1F2＝30°，|MF2|＝b2，所以|MF1|＝2b2.由双曲线的定义可知，|MF1|－|MF2|＝b2＝2，故双曲线C的方程为x2－y22＝1.答案(2)由条件可知，两条渐近线分别为l1：2x－y＝0，l2：2x＋y＝0.设双曲线C上的点P(x0，y0)，两条渐近线的夹角为θ，由题意知cosθ＝－13.则点P到两条渐近线的距离分别为|PP1|＝|2x0－y0|3，|PP2|＝|2x0＋y0|3.因为P(x0，y0)在双曲线C：x2－y22＝1上，所以2x20－y20＝2.所以PP1→·PP2→＝|2x0－y0|3·|2x0＋y0|3cos(π－θ)＝|2x20－y20|3·13＝29.答案20．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．解(1)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b