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第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系基础知识整合1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r)2.圆与圆的位置关系(⊙O1,⊙O2半径r1,r2,d=|O1O2|)1.直线与圆相交时,关注一个直角三角形.由弦心距(圆心到相交弦的距离),弦长的一半及半径构成一个直角三角形.2.过切点M(x0,y0)的圆x2+y2=r2的切线方程为:x0x+y0y=r2.3.两圆相交时相交弦所在直线方程设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0①圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0②若两圆相交,则有一条相交弦,且相交弦所在直线方程可由①-②得到,即:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.注:若两圆相外切时,其内公切线方程亦由此法求得.1.(2019·温州十校联考)对任意的实数k,直线y=kx-1与圆C:x2+y2-2x-2=0的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.以上三个选项均有可能答案C答案解析直线y=kx-1恒经过点A(0,-1),圆x2+y2-2x-2=0的圆心为C(1,0),半径为3,而|AC|=23,点A在圆内,故直线y=kx-1与圆x2+y2-2x-2=0相交.故选C.解析2.已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a等于()A.-12B.1C.2D.12答案C答案解析圆心为C(1,0),由于P(2,2)在圆(x-1)2+y2=5上,∴P为切点,CP与过点P的切线垂直.∴kCP=2-02-1=2.又过点P的切线与直线ax-y+1=0垂直,∴a=kCP=2.故选C.解析3.(2019·山东省实验中学模拟)圆C1:(x+2)2+(y-2)2=4和圆C2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置关系是()A.相离B.相交C.内切D.外切答案B答案解析易得圆C1的圆心为C1(-2,2),半径r1=2,圆C2的圆心为C2(2,5),半径r2=4,圆心距|C1C2|=[2--2]2+5-22=52+4=r1+r2,∵|C1C2|>4-2,所以两圆相交.解析4.若直线l:y=kx+1(k<0)与圆C:x2+4x+y2-2y+3=0相切,则直线l与圆D:(x-2)2+y2=3的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不确定答案A答案解析因为圆C的标准方程为(x+2)2+(y-1)2=2,所以其圆心坐标为(-2,1),半径为2,因为直线l与圆C相切.所以|-2k-1+1|k2+1=2,解得k=±1,因为k0,所以k=-1,所以直线l的方程为x+y-1=0.圆心D(2,0)到直线l的距离d=|2+0-1|2=223,所以直线l与圆D相交.解析5.(2019·浙江镇海中学模拟)若无论实数a取何值时,直线ax+y+a+1=0与圆x2+y2-2x-2y+b=0都相交,则实数b的取值范围为()A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞,-6)D.(-6,+∞)答案C答案解析∵x2+y2-2x-2y+b=0表示圆,∴8-4b0,即b2.∵直线ax+y+a+1=0过定点(-1,-1),∴点(-1,-1)在圆x2+y2-2x-2y+b=0的内部.∴6+b0,解得b-6,∴b的取值范围是(-∞,-6).故选C.解析6.(2018·全国卷Ⅰ)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=________.答案22答案解析根据题意,圆的方程可化为x2+(y+1)2=4,所以圆的圆心为(0,-1),且半径是2,根据点到直线的距离公式可以求得圆心到直线的距离d=|0+1+1|12+-12=2,所以|AB|=24-2=22.解析核心考向突破考向一直线与圆的位置关系例1(1)(2019·安徽黄山模拟)若曲线x2+y2-6x=0(y0)与直线y=k(x+2)有公共点,则k的取值范围是()A.-34,0B.0,34C.0,34D.-34,34答案C答案解析∵x2+y2-6x=0(y0)可化为(x-3)2+y2=9(y0),∴曲线表示圆心为(3,0),半径为3的上半圆(不包括圆与x轴的交点),它与直线y=k(x+2)有公共点的充要条件是圆心(3,0)到直线y=k(x+2)的距离d≤3,且k0,∴|3k-0+2k|k2+1≤3,且k0,解得0k≤34.故选C.解析(2)(2018·深圳模拟)已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定答案B答案解析因为M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,所以a2+b21,而圆心O到直线ax+by=1的距离d=|a·0+b·0-1|a2+b2=1a2+b21.故选B.解析触类旁通判断直线与圆的位置关系常见的两种方法(1)代数法:――→判别式Δ=b2-4ac0⇔相交,=0⇔相切,0⇔相离.2几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系:dr⇔相交,d=r⇔相切,dr⇔相离.即时训练1.(2019·福建漳州八校联考)已知点P(a,b)(ab≠0)是圆x2+y2=r2内的一点,直线m是以P为中点的弦所在的直线,直线l的方程为ax+by=r2,那么()A.m∥l,且l与圆相交B.m⊥l,且l与圆相切C.m∥l,且l与圆相离D.m⊥l,且l与圆相离答案C答案解析∵点P(a,b)(ab≠0)在圆内,∴a2+b2r2.因圆x2+y2=r2的圆心为O(0,0),故由题意得OP⊥m,又kOP=ba,∴km=-ab,∵直线l的斜率为kl=-ab=km,圆心O到直线l的距离d=r2a2+b2r2r=r,∴m∥l,l与圆相离.故选C.解析2.(2019·陕西渭南模拟)已知△ABC的三边长为a,b,c,且满足直线ax+by+2c=0与圆x2+y2=4相离,则△ABC是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上情况都有可能答案C答案解析由已知得圆心(0,0)到直线ax+by+2c=0的距离d=|2c|a2+b22,所以c2a2+b2,在△ABC中,cosC=a2+b2-c22ab0,所以C为钝角,故△ABC为钝角三角形.解析考向二直线与圆的综合问题角度1圆的切线问题例2(1)(2019·武汉模拟)已知直线l:y=k(x-1)-3与圆x2+y2=1相切,则直线l的倾斜角为()A.π6B.π2C.2π3D.5π6答案D答案解析由题意知,|k+3|k2+1=1,∴k=-33.∴直线l的倾斜角为5π6.解析(2)在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,则圆C面积的最小值为________.答案4π5答案解析因为∠AOB=90°,所以点O在圆C上.设直线2x+y-4=0与圆C相切于点D,则点C与点O间的距离等于它到直线2x+y-4=0的距离,所以点C在以O为焦点,以直线2x+y-4=0为准线的抛物线上,所以当且仅当O,C,D共线时,圆的直径最小为|OD|.又|OD|=|2×0+0-4|5=45,所以圆C的最小半径为25,所以圆C面积的最小值为π252=4π5.解析触类旁通圆的切线方程的求法(1)几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令d=r,进而求出k.2代数法:设切线方程为y-y0=kx-x0,与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式Δ=0进而求得k.即时训练3.(2019·太原模拟)“m=0”是“直线x+y-m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案B答案解析若m=0,则圆(x-1)2+(y-1)2=2的圆心(1,1)到直线x+y=0的距离为2,等于半径,此时圆与直线相切,充分性成立;若直线x+y-m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切,则圆心到直线的距离为|1+1-m|2=2,解得m=0或4,故必要性不成立.解析4.(2019·西安模拟)过点P(-2,4)作圆C:(x-2)2+(y-1)2=25的切线l,直线l1:ax+3y+2a=0与l平行,则l1与l间的距离是()A.285B.125C.85D.25答案B答案解析由题意知,直线l1的斜率为k=-a3,设直线l的方程为y-4=-a3(x+2),即ax+3y+2a-12=0,由l与圆C相切,得|2a+3+2a-12|a2+9=5,解得a=-4,故l:4x-3y+20=0,l1:4x-3y+8=0,则两直线间的距离d=|20-8|42+32=125,故选B.解析角度2圆的弦长问题例3(1)过点(-4,0)作直线l与圆x2+y2+2x-4y-20=0交于A,B两点,若|AB|=8,则直线l的方程为()A.5x+12y+20=0B.5x+12y+20=0或x+4=0C.5x-12y+20=0D.5x-12y+20=0或x+4=0答案B答案解析圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=25,由|AB|=8知,圆心(-1,2)到直线l的距离d=3.当直线l的斜率不存在,即直线l的方程为x=-4时,符合题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+4),即kx-y+4k=0.则有|3k-2|k2+1=3,∴k=-512.此时直线l的方程为5x+12y+20=0.解析(2)(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l:mx+y+3m-3=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=23,则|CD|=________.答案4答案解析由题意可知直线l过定点(-3,3),该定点在圆x2+y2=12上,不妨设点A(-3,3),由于|AB|=23,r=23,所以圆心到直线AB的距离为d=232-32=3,又由点到直线的距离公式可得d=|3m-3|m2+1=3,解得m=-33,所以直线l的斜率k=-m=33,即直线l的倾斜角为30°.如图,过点C作CH⊥BD,垂足为H,所以|CH|=23,在Rt△CHD中,∠HCD=30°,所以|CD|=23cos30°=4.解析触类旁通求直线与圆相交弦长的常用方法(1)几何法:用圆的几何性质求解,运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形,计算弦长|AB|=2r2-d2.2代数法:联立直线与圆的方程得方程组,消去一个未知数得一元二次方程,再利用根与系数的关系结合弦长公式求解,其公式为|AB|=1+k2|x1-x2|.)即时训练5.(2019·天津南开中学模拟)若3a2+3b2-4c2=0,则直线ax+by+c=0被圆O:x2+y2=1所截得的弦长为()A.23B.1C.12D.34答案B答案解析因为a2+b2=43c2,所以圆心O(0,0)到直线ax+by+c=0的距离d=|c|a2+b2=32,所以直线ax+by+c=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为212-d2=2×12=1,故选B.解析6.(2019·福建模拟)圆x2+y2-2x-8y+13=0被直线ax+y-1=0所截的线段长为23,则a=()A.-43B.-34C.3D.2答案A答案解析圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,∴圆心的坐标是(1,4),半径为2.由点到直线的距离公式得d=|a+4-1|a2+1=1,解得a=-43.故选A.解析考向三两圆的位置关系例4(1)(2019·河北衡水模拟)圆C1:(x+1)2+(y-2)2=4与圆C2:(x-3)2+(y-2)2=4的公切线的条数是()A.1B.2C.3D.4答案C答案解析圆C1:(x+1)2+(y-2)2=4的圆心为(-1,2),半径为2,圆C2:(x-3)2+(y-2)2=4的圆心为(3,2),半径为2,两圆的圆心距|C1C2|=-1-32+2-22=4=2+2,即两圆的圆心距等于两圆的半径之和,故两圆相外切,故公切
本文标题:2020版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理 新人教
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