2020版高考数学一轮复习 第二篇 函数、导数及其应用 第5节 对数函数课件 文 新人教A版

第二篇函数、导数及其应用(必修1、选修1-2)返回导航第5节对数函数最新考纲1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象．3．体会对数函数是一类重要的函数模型．4．了解指数函数y＝ax(a0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a0，且a≠1)互为反函数.返回导航【教材导读】1．是不是所有实数都有对数？提示：零和负数没有对数，即真数大于零．返回导航2．是否任意指数式都可以转化为对数式？提示：不是．只有在指数式的底数大于0且不等于1的情况下，指数式才能化为对数式．返回导航3．如图是对数函数①y＝logax；②y＝logbx；③y＝logcx；④y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是什么？提示：图中直线y＝1与各图象交点的横坐标即为它们各自底数的值，即0ab1cd.返回导航1．对数概念如果ax＝N(a0，a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN.其中a叫做底数，N叫做真数返回导航底数的限制a0，且a≠1对数式与指数式的互化：ax＝N⇔logaN＝x负数和零没有对数1的对数是零：loga1＝0底数的对数是1：logaa＝1性质对数恒等式：alogaN＝N返回导航loga(M·N)＝logaM＋logaNlogaMN＝logaM－logaN运算性质logaMn＝nlogaM(n∈R)a0，且a≠1，M0，N0公式：logab＝logcblogca(a0，且a≠1；c0，且c≠1；b0)换底公式推广：logambn＝nmlogab(a0且a≠1，b0)；logab＝1logba(a0且a≠1；b0且b≠1)返回导航2.对数函数的概念、图象与性质概念函数y＝logax(a0，a≠1)叫做对数函数底数a10a1图象返回导航定义域(0，＋∞)值域R过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0性质在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数返回导航3.指数函数与对数函数的关系指数函数y＝ax(a0且a≠1)与对数函数y＝logax(a0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．返回导航1．函数y＝2－log2x的定义域是()(A)(4，＋∞)(B)[4，＋∞)(C)(0，4](D)(0，4)C解析：由题意可知2－log2x≥0x＞0⇔log2x≤2x＞0⇔log2x≤log24x＞0⇔0＜x≤4.返回导航2．(2018全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)，若f(3)＝1，则a＝________．解析：∵f(x)＝log2(x2＋a)且f(3)＝1，∴1＝log2(9＋a)，∴9＋a＝2，∴a＝－7.答案：－7返回导航3．若a＝log43，则2a＋2－a＝________．答案：433返回导航4．若x∈(e－1，1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则a，b，c的大小关系为________．答案：b＜a＜c返回导航5．方程log2(9x－1－5)＝log2(3x－1－2)＋2的解为________．答案：2返回导航考点一对数的基本运算(1)(2017烟台模拟)设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝________．返回导航(2)计算下列各式：①lg14－2lg73＋lg7－lg18；②lg27＋lg8－3lg10lg1.2；③(lg5)2＋lg2·lg50；④(log32＋log92)·(log43＋log83)．答案：(1)10(2)①0②32③1④54返回导航【反思归纳】(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．返回导航【即时训练】(2017全国卷)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()(A)2x＜3y＜5z(B)5z＜2x＜3y(C)3y＜5z＜2x(D)3y＜2x＜5z返回导航D解析：设2x＝3y＝5z＝k＞1，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.∵2x－3y＝2log2k－3log3k＝2logk2－3logk3＝2logk3－3logk2logk2·logk3＝logk32－logk23logk2·logk3＝logk98logk2·logk3＞0，∴2x＞3y；返回导航∵3y－5z＝3log3k－5log5k＝3logk3－5logk5＝3logk5－5logk3logk3·logk5＝logk53－logk35logk3·logk5＝logk125243logk3·logk5＜0，∴3y＜5z；∵2x－5z＝2log2k－5log5k＝2logk2－5logk5＝2logk5－5logk2logk2·logk5＝logk52－logk25logk2·logk5＝logk2532logk2·logk5＜0，∴5z＞2x.∴5z＞2x＞3y，故选D.返回导航考点二对数函数的图象及应用(1)函数y＝logax与y＝－x＋a在同一坐标系中的图象可能是()返回导航(2)(2018岳阳质检)已知0＜m1＜2＜m2，a＞0，且a≠1，若logam1＝m1－1，logam2＝m2－1，则实数a的取值范围是()(A)2＜a＜3(B)0＜a＜1(C)1＜a＜2(D)3＜a＜4返回导航解析：(1)A当a＞1时，函数y＝logax的图像为选项B，D中过点(1，0)的曲线，此时函数y＝－x＋a的图像与y轴的交点的纵坐标a应满足a＞1，选项B，D中的图像都不符合要求；当0＜a＜1时，函数y＝logax的图像为选项A，C中过点(1，0)的曲线，此时函数y＝－x＋a的图像与y轴的交点的纵坐标a应满足0＜a＜1，选项A中的图像符合要求，选项C中的图像不符合要求．返回导航(2)C依题意，知方程logax＝x－1有两个不等实根m1，m2，在同一直角坐标系下作出函数y＝logax与y＝x－1的图象，显然a＞1，由图可知m1＝1，要使m2＞2，需满足loga2＞2－1，即a＜2，综上知：实数a的取值范围是1＜a＜2，故选C.返回导航【反思归纳】(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)在研究对数型方程、不等式问题时，常转化为相应函数的图象问题，利用数形结合法求解．返回导航【即时训练】(1)函数y＝2log4(1－x)的图象大致是()(2)当0＜x≤12时，4x＜logax，则a的取值范围是()(A)0，22(B)22，1(C)(1，2)(D)(2，2)返回导航解析：(1)C函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；函数y＝2log4(1－x)的定义域上单调递减，排除D.选C.返回导航(2)B由题意得，当0＜a＜1时，要使得4x＜logax0＜x≤12，即当0＜x≤12时，函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方．返回导航又当x＝12时，412＝2，即函数y＝4x的图象过点12，2，把点12，2代入函数y＝logax，得a＝22，若函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方，则需22＜a＜1(如图所示)．当a＞1时，不符合题意，舍去．所以实数a的取值范围是22，1.故选B.返回导航考点三对数函数的性质及应用考查角度1：比较大小．设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则()(A)a＞b＞c(B)a＞c＞b(C)b＞a＞c(D)b＞c＞a返回导航A解析：因为a＝log3π＞log33＝1，b＝log23＜log22＝1，所以a＞b，又bc＝12log2312log32＝(log23)2＞1，b＞0，所以b＞c，故a＞b＞c.返回导航【反思归纳】比较对数的大小．(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；(3)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．返回导航考查角度2：解对数不等式．设函数f(x)＝log2x，x＞0，log12（－x），x＜0，若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是()(A)(－1，0)∪(0，1)(B)(－∞，－1)∪(1，＋∞)(C)(－1，0)∪(1，＋∞)(D)(－∞，－1)∪(0，1)返回导航C解析：由题意可得a＞0，log2a＞－log2a，或a＜0，log12（－a）＞log2（－a）.解得a＞1或－1＜a＜0.故选C.返回导航【反思归纳】解对数不等式，形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；形如logax＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．返回导航考查角度3：与对数函数有关的单调性(最值)问题．已知a＞0且a≠1，若函数f(x)＝loga(ax2－x)在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是________．返回导航解析：当a＞1时，要使f(x)＝loga(ax2－x)在[3，4]上单调递增，则y＝ax2－x在[3，4]上单调递增，且y＝ax2－x＞0恒成立，即a＞1，12a≤3，9a－3＞0，解得a＞1，返回导航当0＜a＜1时，要使f(x)＝loga(ax2－x)在[3，4]上单调递增，则y＝ax2－x在[3，4]上单调递减，且y＝ax2－x＞0恒成立，即0＜a＜1，12a≥4，16a－4＞0，此时无解．综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)．返回导航【反思归纳】研究复合函数y＝logaf(x)的单调性(最值)时，应先研究其定义域，结合函数u＝f(x)及y＝logau的单调性(最值)情况确定函数y＝logaf(x)的单调性(最值)(其中a＞0，且a≠1)．返回导航考查角度4：与对数函数有关的参数取值(范围)问题．高考扫描：2013高考新课标全国卷Ⅰ函数y＝1log2（x－2）的定义域是()(A)(－∞，2)(B)(2，＋∞)(C)(2，3)∪(3，＋∞)(D)(2，4)∪(4，＋∞)返回导航C解析：要使函数有意义就满足x－2＞0，log2（x－2）≠0，即x＞2，x－2≠1，解得x＞2且x≠3.故选C.返回导航【反思归纳】(1)logaf(x)＞logag(x)⇔a＞1f（x）＞g（x）＞0或0＜a＜10＜f（x）＜g（x）.(2)有关形如y＝logaf(x)的单调性：先求定义域，根据复合函数y＝logau，u＝f(x)的单调性(判断)求解．(3)对于形如y＝logaf(x)(a＞0且a≠1)的复合函数的值域的求解步骤为：①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；②求f(x)的定义域；③求u的取值范围；④利用y＝logau的单调性求解.返回导航忽视函数的定义域致误若函数f(x)＝log12(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为()(A)[43，3](B)[43，2](C)[43，2)(D)[43，＋∞)返回导航易错提醒：(1)对含有对数式结构的函数、方程、不等式问题，求解时应遵循定义域优先原则．(2)判断复合函数的单调性，应遵循“同增异减”的原则．返回导航解析：先保证对数有意义即－x2＋4x＋5＞0，解得－1＜x＜5.又可得二次函数y＝－x2＋4x＋5的对称轴为x＝－42×（－1）＝2，由复合函数单调性可得函数f(x)＝log12(－x2＋4x＋5)的单调递增区间为(2，5)，要使函数f(x)＝