2020版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第7讲 立体几何中的向量方法课件 理 新人教A版

第7讲立体几何中的向量方法基础知识整合1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量直线l上的向量e或与e的向量叫做直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量有个．□01共线□02无数(2)平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，此时向量n叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量也有个，且它们是向量．(3)设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则□03直线垂直于□04无数□05共线l∥m⇔⇔，k∈R；l⊥m⇔⇔；l∥α⇔⇔；l⊥α⇔⇔，k∈R；α∥β⇔⇔，k∈R；α⊥β⇔⇔.□06a∥b□07a＝kb□08a⊥b□09a·b＝0□10a⊥u□11a·u＝0□12a∥u□13a＝ku□14u∥v□15u＝kv□16u⊥v□17u·v＝02．空间向量与空间角的关系(1)两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝(其中φ为异面直线a，b所成的角，范围是0，π2).□18|a·b||a||b|(2)直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝，φ的取值范围是0，π2.□19|e·n||e||n|(3)求二面角的大小如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝．如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．取值范围是[0，π]．□20〈AB→，CD→〉3．求空间的距离(1)点到平面的距离如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝.(2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解．□21|AB→·n||n|1．直线的方向向量的确定：l是空间一直线，A，B是l上任意两点，则AB→及与AB→平行的非零向量均为直线l的方向向量．2．平面的法向量的确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为n·a＝0，n·b＝0.1．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α和平面β的位置关系是()A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．重合解析由(1,2,0)·(2，－1,0)＝1×2＋2×(－1)＋0×0＝0，知两平面的法向量互相垂直，所以两平面互相垂直．解析答案C答案2．(2019·黑龙江模拟)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于()A.105B.155C.45D.23答案B答案解析设正方体的棱长为2，建立如图所示的坐标系，O(1,1,0)，E(0,2,1)，F(1,0,0)，D1(0,0,2)，∴FD1→＝(－1,0,2)，OE→＝(－1,1,1)．∴cos〈FD1→，OE→〉＝FD1→·OE→|FD1→||OE→|＝1＋0＋25×3＝155.解析3．如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点．若∠PDA＝45°，则EF与平面ABCD所成的角的大小是()A．90°B．60°C．45°D．30°答案C答案解析设AD＝a，AB＝b，因为∠PDA＝45°，PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD，PA＝AD＝a.以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在射线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0，a)，Eb2，0，0，Fb2，a2，a2，解析所以EF→＝0，a2，a2.易知AP→＝(0,0，a)是平面ABCD的一个法向量．设EF与平面ABCD所成角为θ，则sinθ＝|cos〈AP→，EF→〉|＝|AP→·EF→||AP→||EF→|＝22.所以θ＝45°.解析4．(2019·金华模拟)在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于()A．4B．2C．3D．1答案B答案解析由已知平面OAB的一条斜线的方向向量OP→＝(－1，3,2)，所以点P到平面OAB的距离d＝|OP→|·|cos〈OP→，n〉|＝|OP→·n||n|＝|－2－6＋2|22＋－22＋1＝2.故选B.解析5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________．答案13答案解析如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，A1(1,0,1)，B(1,2,0)，∴D1C1→＝(0,2,0)，设平面A1BC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，解析由n·A1C1→＝x，y，z·－1，2，0＝－x＋2y＝0，n·A1B→＝x，y，z·0，2，－1＝2y－z＝0，得x＝2y，z＝2y，令y＝1，得n＝(2,1,2)，设D1C1与平面A1BC1所成角为θ，则sinθ＝|cos〈D1C1→，n〉|＝|D1C1→·n||D1C1→||n|＝22×3＝13.即直线D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为13.解析核心考向突破考向一利用空间向量证明平行、垂直例1(2019·南京模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD所成的角为30°.求证：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.证明以点C为坐标原点，分别以CB，CD，CP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角．∴∠PBC＝30°.∵PC＝2，∴BC＝23，PB＝4.答案∴D(0,1,0)，B(23，0,0)，A(23，4,0)，P(0,0,2)，M32，0，32，∴DP→＝(0，－1,2)，DA→＝(23，3,0)，CM→＝32，0，32.(1)设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，由DP→·n＝0，DA→·n＝0，即－y＋2z＝0，23x＋3y＝0.令y＝2，得n＝(－3，2,1)．答案∵n·CM→＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，∴n⊥CM→.又CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.(2)如图，取AP的中点E，连接BE，则E(3，2,1)，BE→＝(－3，2,1)．答案∵PB＝AB，∴BE⊥PA.又BE→·DA→＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0，∴BE→⊥DA→，∴BE⊥DA.又PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD.又BE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.答案触类旁通证明平行、垂直问题的思路(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．3其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可.即时训练1.(2019·广东深圳模拟)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直，M为AA1的中点，N为BC1的中点．求证：(1)MN∥平面A1B1C1；(2)平面MBC1⊥平面BB1C1C.证明由题意知AA1，AB，AC两两垂直，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设正方形AA1C1C的边长为2，则A(0,0,0)，A1(2,0,0)，B(0,2,0)，B1(2,2,0)，C(0,0,2)，C1(2,0,2)，M(1,0,0)，N(1,1,1)．(1)因为几何体是直三棱柱，所以侧棱AA1⊥底面A1B1C1.答案因为AA1→＝(2,0,0)，MN→＝(0,1,1)，所以MN→·AA1→＝0，即MN→⊥AA1→.MN⊄平面A1B1C1，故MN∥平面A1B1C1.(2)设平面MBC1与平面BB1C1C的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．因为MB→＝(－1,2,0)，MC1→＝(1,0,2)，所以n1·MB→＝0，n1·MC1→＝0，即－x1＋2y1＝0，x1＋2z1＝0，，答案令x1＝2，则平面MBC1的一个法向量为n1＝(2,1，－1)．同理可得平面BB1C1C的一个法向量为n2＝(0,1,1)．因为n1·n2＝2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以n1⊥n2，所以平面MBC1⊥平面BB1C1C.答案考向二利用空间向量求空间角角度1求异面直线所成的角例2如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．解(1)证明：连接BD.设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°.可得AG＝GC＝3.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝2，故DF＝22.在Rt△FDG中，可得FG＝62.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝22，答案可得EF＝322.从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(2)如图，以G为坐标原点，分别以GB→，GC→的方向为x轴，y轴正方向，|GB→|为单位长，建立空间直角坐标系Gxyz.答案由(1)可得A(0，－3，0)，E(1,0，2)，F－1，0，22，C(0，3，0)，所以AE→＝(1，3，2)，CF→＝－1，－3，22.答案故cos〈AE→，CF→〉＝AE→·CF→|AE→||CF→|＝－33.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为33.答案触类旁通由于异面直线所成的角的范围是0，π2，利用向量的数量积所求的两个向量的夹角有可能是钝角，为此取向量夹角余弦值的绝对值作为异面直线的夹角的余弦值，即若AB，CD为异面直线，所成角为θ，则cosθ＝|AB→·CD→||AB→||CD→|.即时训练2.(2017·江苏高考)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝120°.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求二面角B－A1D－A的正弦值．解在平面ABCD内，过点A作AE⊥AD，交BC于点E.因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AE，AA1⊥AD.如图，以{AE→，AD→，AA→1}为正交基底，建立空间直角坐标系Axyz.答案因为AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝120°，则A(0,0,0)，B(3，－1,0)，D(0,2,0)，E(3，0,0)，A1(0,0，3)，C1(3，1，3)．(1)A1B→＝(3，－1，－3)，AC1→＝(3