2020版高考数学一轮复习 第八篇 平面解析几何 第6节 曲线与方程课件 文 新人教A版

第八篇平面解析几何(必修2、选修1-1)返回导航第6节曲线与方程最新考纲1．了解曲线与方程的对应关系．2．了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法.3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.返回导航【教材导读】1．f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件吗？提示：是．如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，则曲线C的点的坐标满足f(x，y)＝0，以f(x，y)＝0的解为坐标的点也都在曲线C上，故f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．返回导航2．方程y＝x与x＝y2表示同一曲线吗？提示：不是同一曲线．返回导航1．曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．返回导航2．求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0，并化简；(4)查漏补缺．返回导航3．求动点轨迹方程的常用方法(1)直接法．也叫直译法，即根据题目条件，写出关于动点的几何关系并用坐标表示，再进行整理、化简．(2)定义法．先根据已知条件判断动点的轨迹形状，然后根据曲线的定义直接求动点的轨迹方程．返回导航(3)代入法．也叫相关点法，其特点是，动点M(x，y)与已知曲线C上的点(x′，y′)相关联，可先用x，y表示x′、y′，再代入曲线C的方程，即得点M的轨迹方程．(4)参数法．选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标(x，y)，消去参数，即得其普通方程．返回导航【重要结论】1．如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P0(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0.2．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．3．两条曲线有交点的充要条件是两条曲线的方程所组成的方程组有实数解．返回导航1．已知命题“曲线C上的点的坐标是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题中正确的是()(A)满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上(B)方程f(x，y)＝0是曲线C的方程(C)方程f(x，y)＝0所表示的曲线不一定是曲线C(D)以上说法都正确C解析：曲线C可能只是方程f(x，y)＝0所表示的曲线上的某一部分，故选C.返回导航2．方程(2x＋3y－1)(x－3－1)＝0表示的曲线是()(A)两条直线(B)两条射线(C)两条线段(D)一条直线和一条射线D解析：原方程化为2x＋3y－1＝0，x－3≥0，或x－3－1＝0，∴2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4.故选D.返回导航3．已知点M(－3，0)，N(3，0)，B(1，0)，动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线(非x轴)相交于点P，则点P的轨迹方程为()(A)x2－y28＝1(x＞1)(B)x2－y28＝1(x＜－1)(C)x2＋y28＝1(x＞0)(D)x2－y210＝1(x＞1)返回导航A解析：由题可知，|PM|－|PN|＝|BM|－|BN|＝2，由双曲线的定义可知点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，由c＝3，a＝1，知b2＝8.∴点P的轨迹方程为x2－y28＝1(x＞1)．故选A.返回导航4．设点A到图形C上每一个点的距离的最小值称为点A到图形C的距离．已知点A(1，0)，圆C：x2＋2x＋y2＝0，那么平面内到圆C的距离与到点A的距离之差为1的点的轨迹是()(A)双曲线的一支(B)椭圆(C)抛物线(D)射线返回导航D解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋y2＝1，如图所示，设圆心坐标为A′，满足题意的点为点，由题意有：返回导航|PA′|－1－|PA|＝1，则|PA′|－|PA|＝2＝|AA′|，设B(2，0)，结合几何关系可知满足题意的轨迹为射线AB.故选D.返回导航5．设P为双曲线x24－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是________．解析：设M(x，y)，则P(2x，2y)，代入双曲线方程得x2－4y2＝1.答案：x2－4y2＝1返回导航考点一定义法求轨迹方程已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆M圆心的轨迹方程．返回导航解析：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，则有|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，返回导航又|MA|＝|MB|，所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2，即动点M到两定点C2，C1的距离的差是常数2，且2＜|C1C2|＝6，|MC2|＞|MC1|，故动圆M圆心的轨迹为以定点C2，C1为焦点的双曲线的左支，则2a＝2，所以a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8.设动圆M圆心的坐标为(x，y)，则动圆M圆心的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．返回导航【反思归纳】定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．返回导航【即时训练】(1)已知圆P过点A(1，0)且与直线l：x＝－1相切，则圆心P的轨迹方程为________________．(2)若动圆P过点N(－2，0)，且与另一圆M：(x－2)2＋y2＝8相外切，则动圆P的圆心的轨迹方程是________．返回导航解析：(1)设动圆半径为r，P到l的距离为d，则由题意知，|PA|＝r，d＝r，故|PA|＝d，又因为A∉l，所以由抛物线的定义可知，点P的轨迹是以A为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝4x.返回导航(2)因为动圆P过点N(－2，0)，所以|PN|是动圆的半径．又因为动圆P与圆M相外切，所以有|PM|＝|PN|＋22，即|PM|－|PN|＝22|MN|＝4，故点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为22，焦距为4的双曲线的左支，返回导航则a＝2，c＝2，所以b＝c2－a2＝2，从而动圆P的圆心的轨迹方程为x22－y22＝1(x≤－2)．答案：(1)y2＝4x(2)x22－y22＝1(x≤－2)返回导航考点二直接法求轨迹方程(1)已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若MN→2＝λAN→·AB→，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是()(A)圆(B)椭圆(C)抛物线(D)双曲线返回导航(2)设A，B分别是x轴，y轴上的动点，点P在直线AB上，且AP→＝32PB→，|AB→|＝2＋3.①求点P的轨迹E的方程；②已知曲线E上的定点K(－2，0)及动点M，N满足KM→·KN→＝0，试证：直线MN必过x轴上的定点．返回导航C解析：以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立坐标系，设M(x，y)，A(－a，0)，B(a，0)，则N(x，0)．因为MN→2＝λAN→·NB→，所以y2＝λ(x＋a)(a－x)，即λx2＋y2＝λa2，当λ＝1时，轨迹是圆；当λ＞0且λ≠1时，轨迹是椭圆；当λ0时，轨迹是双曲线；当λ＝0时，轨迹是直线．综上，动点M的轨迹不可能是抛物线．返回导航(2)①设P(x，y)，A(xA，0)，B(0，yB)，则AP→＝(x－xA，y)，PB→＝(－x，yB－y)，由AP→＝32PB→，得xA＝x＋32x，yB＝y＋23y，由|AB→|＝2＋3，即可求得点P的轨迹E的方程为x24＋y23＝1.②设直线KM：y＝k(x＋2)(k≠0)，与x24＋y23＝1联立，消去y，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0.返回导航设M(x1，y1)，则－2＋x1＝－16k23＋4k2，x1＝－16k23＋4k2＋2＝6－8k23＋4k2，y1＝k(x1＋2)＝12k3＋4k2，∴M6－8k23＋4k2，12k3＋4k2，设直线KN：y＝－1k(x＋2)(k≠0)，同理可得N6k2－83k2＋4，－12k3k2＋4，返回导航kMN＝yM－yNxM－xN＝－7k4（k2－1）(k2≠1)，则MN：y－12k3＋4k2＝－7k4（k2－1）x－6－8k23＋4k2，化简可得y＝－7k4（k2－1）x＋27，即直线MN过定点－27，0，另MN斜率不存在时，也过定点－27，0.∴直线MN必过定点－27，0.返回导航【反思归纳】直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略(1)题目给出等量关系，求轨迹方程，可直接代入即可得出方程．(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．返回导航【即时训练】(1)已知点F(0，1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且QP→·QF→＝FP→·FQ→，则动点P的轨迹C的方程为()(A)x2＝4y(B)y2＝3x(C)x2＝2y(D)y2＝4x(2)已知动点P(x，y)与两定点M(－1，0)，N(1，0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．则动点P的轨迹C的方程为________．返回导航解析：(1)设点P(x，y)，则Q(x，－1)．因为QP→·QF→＝FP→·FQ→，所以(0，y＋1)·(－x，2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，所以动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.返回导航(2)由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以kPM·kPN＝yx＋1·yx－1＝λ，整理得x2－y2λ＝1(λ≠0，x≠±1)．即动点P的轨迹C的方程为x2－y2λ＝1(λ≠0，x≠±1)．答案：(1)A(2)x2－y2λ＝1(λ≠0，x≠±1)返回导航考点三相关点(代入)法求轨迹方程设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝45|PD|.(1)当点P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3，0)且斜率为45的直线l被C所截线段的长度．返回导航解析：(1)设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(xP，yP)，因为点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝45|PD|，所以xP＝x，且yP＝54y.∵P在圆x2＋y2＝25上，∴x2＋(54y)2＝25，整理得x225＋y216＝1，即点M的轨迹C的方程是x225＋y216＝1.返回导航(2)过点(3，0)且斜率为45的直线l的方程是y＝45(x－3)，设此直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝45(x－3)代入C的方程x225＋y216＝1得x225＋（x－3）225＝1，化简得x2－3x－8＝0，返回导航∴x1＋x2＝3，x1x2＝－8，所以线段AB的长度是|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝1＋1625（x1－x2）2＝4125×41＝415，即所截线段的长度是415.返回导航【反思归纳】相关点求轨迹方程的一般步骤(1)设点：设动点坐标为(x，y)，已知轨迹的点的坐标为(x1，y1)；(2)求关系式，求出两点坐标之间的关系x1＝f（x，y），y1＝g（x，y）；(3)代换：将上式关系带入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹．返回导航【即时训练】P是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，OQ→＝PF1→＋PF2→，则动点Q的轨迹方程是________．返回导航解析：由OQ→＝PF