2020版高考数学二轮复习 第二部分 专题一 三角函数的图象与性质 第2讲 三角恒等变换与解三角形课

专题一三角函数的图象与性质第2讲三角恒等变换与解三角形1．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝()A.15B.55C.33D.255解析：由2sin2α＝cos2α＋1⇒4sinαcosα＝2cos2α，得2sinα＝cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，则5sin2α＝1.又α∈0，π2，知sinα＝15＝55.答案：B2．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为a2＋b2－c24，则C＝()A.π2B.π3C.π4D.π6解析：因为S△ABC＝12absinC，所以a2＋b2－c24＝12absinC.由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，得2abcosC＝2absinC，即cosC＝sinC.所以在△ABC中，C＝π4.答案：C3．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.(1)求A；(2)若2a＋b＝2c，求sinC.解：(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，即62＋32cosC＋12sinC＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－22.因为0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝22，故sinC＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝6＋24.4．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2B2.(1)求cosB；(2)若a＋c＝6，△ABC面积为2，求b.解：(1)由题设及A＋B＋C＝π，得sinB＝8sin2B2，故sinB＝4(1－cosB)．上式两边平方，整理得17cos2B－32cosB＋15＝0，解得cosB＝1(舍去)或cosB＝1517.(2)由cosB＝1517得sinB＝817，故S△ABC＝12acsinB＝417ac.又S△ABC＝2，则ac＝172.由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)＝36－2×172×1＋1517＝4.所以b＝2.1．三角函数的化简与求值是命题的热点，其中两角和与差、二倍角的正(余)弦、正切公式，同角三角函数的关系是恒等变换的依据．2．正弦定理、余弦定理是高考的重点内容，主要考查边和角、面积的计算、三角形形状的判定．高考命题中，选择、填空及解答题均可能呈现，不超过中等难度．热点1三角恒等变换(师生互动)1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan2α＝2tanα1－tan2α.3．辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中tanφ＝ba.【例1】(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解：(1)因为tanα＝43，tanα＝sinαcosα，所以sinα＝43cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝925，因此，cos2α＝2cos2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝43，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tan（α＋β）1＋tan2αtan（α＋β）＝－211.[思维升华]1．三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值．三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系．2．求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．求解时，尽量缩小角的取值范围，避免增解．[变式训练](1)已知sinα＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于()A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：因为α，β均为锐角，所以－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010.又sinα＝55，所以cosα＝255，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝55×31010－255×－1010＝22.所以β＝π4.答案：C(2)(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(－35，－45)．(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cosβ的值．解：(1)因为角α的终边过点P(－35，－45)，且|OP|＝1，所以sinα＝－45.所以sin(α＋π)＝－sinα＝45.(2)由角α的终边过点P(－35，－45)，得cosα＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－5665或cosβ＝1665.热点2正弦定理与余弦定理(多维探究)1．正弦定理及其变形在△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC＝2R(其中R是外接圆的半径)．变形：a＝2RsinA，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．2．余弦定理及其变形在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA；变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝b2＋c2－a22bc等．3．三角形的面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA.角度三角形中边、角与面积计算【例2】(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋3cosA＝0，a＝27，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．解：(1)由已知可得tanA＝－3，所以A＝2π3.在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc·cosA，即28＝4＋c2－4c·cos2π3，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由题设可得∠CAD＝π2，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π6.故△ABD面积与△ACD面积的比值为12AB·AD·sinπ612AC·AD＝1.又△ABC的面积为12×4×2sin∠BAC＝23，所以△ABD的面积为3.[思维升华]1．高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形．2．关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．[变式训练](2019·河南八市联盟考试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，边c上的高为abcosCc，ab＝22.(1)求角C的大小；(2)若△ABC的周长为2＋22，求边c的长．解：(1)由边c上的高为abcosCc及面积公式得12absinC＝12c·abcosCc＝12abcosC，则sinC＝cosC.又0＜C＜π，所以C＝π4.(2)由c2＝a2＋b2－2abcosC，得c2＝(a＋b)2－2ab－2abcosC，又ab＝22，a＋b＋c＝2＋22，则c2＝(2＋22－c)2－42－4，解得c＝2.角度应用正、余弦定理解决实际问题【例3】某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40米．A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC＝15°，A地测得最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH为()A．210(6＋2)米B．1406米C．2102米D．20(6－2)米解析：由题意，设AC＝x米，则BC＝(x－40)米，在△ABC内，由余弦定理：BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，即(x－40)2＝10000＋x2－100x，解得x＝420.在△ACH中，AC＝420米，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°，由正弦定理：CHsin∠CAH＝ACsin∠AHC，可得CH＝AC·sin∠CAHsin∠AHC＝1406(米)．答案：B[思维升华]1．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．2．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解满足条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．[变式训练]如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理，得600sin45°＝BCsin30°，解得BC＝3002(m)．在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝3002×33＝1006(m)．答案：1006热点3解三角形与三角函数的综合问题(多维探究)解三角形与三角函数的综合题是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状，三角形中三角函数求值．角度平面几何图形中的计算【例4】(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝22，求BC.解：(1)在△ABD中，由正弦定理得BDsinA＝ABsin∠ADB，即5sin45°＝2sin∠ADB，所以sin∠ADB＝25.由题设知，∠ADB90°，所以cos∠ADB＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝25.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×22×25＝25，所以BC＝5.[思维升华]1．本题主要化归到三角形△ABD与△BCD中，分别利用正弦定理和余弦定理求解．2．几何图形中的边、角计算一般要把几何图形分解为若干三角形，在三角形中利用三角函数的定义、正(余)弦定理、三角变换公式转化求解．[变式训练](2019·浙江卷)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________．解析：如图，易知sinC＝45，cosC＝35.在△BDC中，由正弦定理可得BDsinC＝BCsin∠