2020版高考数学二轮复习 第2部分 专题6 函数、导数、不等式 第2讲 导数的简单应用课件 文

第二部分讲练篇专题六函数、导数、不等式第2讲导数的简单应用自主练考点整合[做小题——激活思维]1．设曲线y＝a(x－1)－lnx在点(1,0)处的切线方程为y＝2x－2，则a＝________.[答案]32．函数f(x)＝lnxx的单调增区间是________．[答案](0，e)3．已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－1ex，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．[答案]－1，124．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________.[答案]325．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为________．[答案]－1[扣要点——查缺补漏]1．导数的几何意义(1)f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．(2)f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处切线的斜率，如T1.2．导数与函数的单调性(1)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0，如T2.(2)若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．3．导数与函数的极值、最值(1)f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件，如T5.(2)函数f(x)在[a，b]上有唯一一个极值点，这个极值点就是最值点．研考题举题固法导数的几何意义(5年10考)[高考解读]高考对导数几何意义的考查多以选择题或填空题的形式考查，有时出现在解答题的题目条件中或问题的第1问，主要考查切线的求法，难度较小.1．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x切入点：f(x)为奇函数．关键点：①根据奇偶性求a；②正确求出f′(0)．D[因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，由此可得a＝1，故f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.]2．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则()A．a＝e，b＝－1B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1D．a＝e－1，b＝－1切入点：①切点为(1，ae)；②切线方程为y＝2x＋b.关键点：正确求出曲线在点(1，ae)处的切线的斜率．D[∵y′＝aex＋lnx＋1，∴k＝y′|x＝1＝ae＋1，∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1.∵已知切线方程为y＝2x＋b，∴ae＋1＝2，b＝－1，解得a＝e－1，b＝－1.故选D.]y＝2x－2[由题意知，y′＝2x，所以曲线在点(1,0)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝2，故所求切线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.][教师备选题]1．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2lnx在点(1,0)处的切线方程为_____．2x－y＝0[设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ex－1＋x.∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝ex－1＋x.∵当x＞0时，f′(x)＝ex－1＋1，∴f′(1)＝e1－1＋1＝1＋1＝2.∴曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.]2．(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．求曲线y＝f(x)的切线方程的3种类型及方法类型方法已知切点P(x0，y0)，求切线方程求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程已知切线的斜率k，求切线方程设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程已知切线上一点(非切点)，求切线方程设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程C[f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)．经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.]1．(求切点坐标)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为()A．(1,3)B．(－1,3)C．(1,3)和(－1,3)D．(1，－3)C[对y＝x3＋mx＋n求导得，y′＝3x2＋m，∵A(1,3)在直线y＝kx＋1上，∴k＝2，∴由3＋m＝2，1＋m＋n＝3，解得n＝3.]2．(已知切线求参数)已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋mx＋n相切于点A(1,3)，则n＝()A．－1B．1C．3D．48[法一：∵y＝x＋lnx，∴y′＝1＋1x，y′|x＝1＝2.∴曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．3．[一题多解](公切线问题)已知曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.由y＝2x－1，y＝ax2＋a＋2x＋1，消去y，得ax2＋ax＋2＝0.由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.法二：同方法一得切线方程为y＝2x－1.设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax20＋(a＋2)x0＋1)．∵y′＝2ax＋(a＋2)，∴y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2)．由2ax0＋a＋2＝2，ax20＋a＋2x0＋1＝2x0－1，解得x0＝－12，a＝8.]利用导数研究函数的单调性(5年6考)[高考解读]利用导数研究函数的单调性是每年的必考内容，但是单独命题的概率较小，主要是作为解答题的第1问出现.角度一：讨论函数的单调性1．(2017·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝(1－x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围．切入点：利用导数讨论f(x)的单调性．关键点：对参数a的取值进行分类讨论，当a≥1时，构造函数可知(1－x)·ex≤1，所以f(x)＝(x＋1)(1－x)·ex≤x＋1≤ax＋1成立；当0a1时，构造函数可知ex≥x＋1，通过举反例x0＝5－4a－12，f(x0)ax0＋1，从而说明命题不成立；当a≤0时，举反例x0＝5－12说明不等式不成立．[解](1)f′(x)＝(1－2x－x2)ex.令f′(x)＝0得x＝－1－2或x＝－1＋2.当x∈(－∞，－1－2)时，f′(x)＜0；当x∈(－1－2，－1＋2)时，f′(x)＞0；当x∈(－1＋2，＋∞)时，f′(x)＜0.所以f(x)在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)单调递减，在(－1－2，－1＋2)单调递增．(2)f(x)＝(1＋x)(1－x)ex.当a≥1时，设函数h(x)＝(1－x)ex，则h′(x)＝－xex＜0(x0)，因此h(x)在[0，＋∞)单调递减．而h(0)＝1，故h(x)≤1，所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1.当0a1时，设函数g(x)＝ex－x－1，则g′(x)＝ex－1＞0(x＞0)，所以g(x)在[0，＋∞)单调递增．而g(0)＝0，故ex≥x＋1.当0x1时，f(x)(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，取x0＝5－4a－12，则x0∈(0,1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0，故f(x0)＞ax0＋1.当a≤0时，取x0＝5－12，则x0∈(0,1)，f(x0)＞(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1.综上，a的取值范围是[1，＋∞)．角度二：已知函数的单调性求参数范围2．(2016·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x－13sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是()A．[－1,1]B.－1，13C.－13，13D.－1，－13切入点：f(x)在(－∞，＋∞)单调递增⇔f′(x)≥0在R上恒成立．关键点：正确求解不等式f′(x)≥0.C[f′(x)＝1－23cos2x＋acosx＝1－23×(2cos2x－1)＋acosx＝－43cos2x＋acosx＋53，f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0在R上恒成立，令cosx＝t，t∈[－1,1]，则－43t2＋at＋53≥0在[－1,1]上恒成立，即4t2－3at－5≤0在[－1,1]上恒成立，令g(t)＝4t2－3at－5，则g1＝4－3a－5≤0，g－1＝4＋3a－5≤0，解得－13≤a≤13，故选C.][教师备选题]1．(2014·全国卷Ⅱ)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)D[利用函数单调性与导函数的关系，将问题转化为恒成立问题．由于f′(x)＝k－1x，f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增⇔f′(x)＝k－1x≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k≥1x，而01x1，所以k≥1.即k的取值范围为[1，＋∞)．]2．(2017·浙江高考)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()D[观察导函数f′(x)的图象可知，f′(x)的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察选项可知，排除A，C.如图所示，f′(x)有3个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3，且x1，x3是极小值点，x2是极大值点，且x20，故选项D正确．故选D.]3．(2017·山东高考)若函数exf(x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中具有M性质的是()A．f(x)＝2－xB．f(x)＝x2C．f(x)＝3－xD．f(x)＝cosxA[若f(x)具有M性质，则[exf(x)]′＝ex[f(x)＋f′(x)]0在f(x)的定义域上恒成立，即f(x)＋f′(x)0在f(x)的定义域上恒成立．对于选项A，f(x)＋f′(x)＝2－x－2－xln2＝2－x(1－ln2)0，符合题意．经验证，选项B，C，D均不符合题意．故选A.]求解或讨论函数单调性有关问题的解题策略讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况.大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：1在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论..2在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.易错提醒：讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制.A[f′(x)＝ex(x＋a＋1)，由题意，知方程ex(x＋a＋1)＝0在(0，＋∞)上至少有一个实数根，即x＝－a－10，解得a－1.]1．(已知函数的单调性求参数)若函数f(x)＝(x＋a)ex在区间(0，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－∞，0)C．(－1,0)D．[－1，＋∞)(－∞，－2－2ln2)[因为f(x)＝x2－4ex－ax，所以f′(x)＝2x－4ex－a.由题意，f′(x)＝2x－4ex－a0，即a2x－4ex有解．令g(x)＝2x－4ex，则g′(x)＝2－4ex.令g′(x)＝0，解得x＝－l