2020版高考数学二轮复习 第2部分 专题5 解析几何 第1讲 直线与圆课件 理

第二部分讲练篇专题五解析几何第1讲直线与圆自主练考点整合[做小题——激活思维]1．直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a＝()A．－1B．1C．±1D．－32C[由(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1，故选C.]2．直线l过点(2,2)，且点(5,1)到直线l的距离为10，则直线l的方程是()A．3x＋y＋4＝0B．3x－y＋4＝0C．3x－y－4＝0D．x－3y－4＝0C[由题意，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y＋2－2k＝0，所以|5k－1＋2－2k|k2＋1＝10，解得k＝3，所以直线l的方程为3x－y－4＝0，故选C.]3．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离B[∵两圆心距离d＝2＋22＋12＝17，R＋r＝2＋3＝5，r－R＝1，∴r－R＜d＜R＋r，∴两圆相交．]4．直线4x－3y＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得的弦长为________．6[假设直线4x－3y＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得的弦为AB，∵圆的半径r＝10，圆心到直线的距离d＝5－32＋42＝1，∴弦长|AB|＝2×r2－d2＝210－1＝2×3＝6.]5．[一题多解]经过三点A(－1,0)，B(3,0)，C(1,2)的圆的方程为________．(x－1)2＋y2＝4[法一：(待定系数法)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A(－1,0)，B(3,0)，C(1,2)的坐标代入圆的方程可得1－D＋F＝0，9＋3D＋F＝0，1＋4＋D＋2E＋F＝0，解得D＝－2，E＝0，F＝－3，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.法二：(几何法)根据A，B两点的坐标特征可知圆心在直线x＝1上，设圆心坐标O(1，a)，则圆的半径r＝4＋a2＝|a－2|，所以a＝0，r＝2，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.]6．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．(－2，－4)5[由题意可知a2＝a＋2，∴a＝－1或2.当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a＝2时，方程可化为x2＋y2＋x＋2y＋52＝0，不表示圆．][扣要点——查缺补漏]1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系(1)平行⇔A1B2－A2B1＝0(斜率相等)且B1C2－B2C1≠0(在y轴上截距不等)；(2)直线Ax1＋B1y＋C1＝0与直线Ax2＋B2y＋C2＝0垂直⇔A1A2＋B1B2＝0.如T1.2．点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2；如T2.(2)两平行线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝|C1－C2|A2＋B2.3．圆的方程(1)标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2；(2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)；(方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆⇔A＝C≠0，且B＝0，D2＋E2－4AF＞0)；如T5，T6.(3)参数方程：x＝a＋rcosθy＝b＋rsinθ；(4)直径式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.4．点、直线、圆的位置关系(1)研究点、直线、圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题．如T3.(2)与弦长l有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系r2＝d2＋l22来处理．如T4.研考题举题固法圆的方程及应用(5年4考)[高考解读]圆的方程求法以待定系数法为主，主要考查方程思想及数学运算的能力，与圆有关的最值问题主要考查等价转化及数形结合的意识，均属于中档题目.1．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.53B.213C.253D.43B[设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)，∴1＋D＋F＝0，3＋3E＋F＝0，7＋2D＋3E＋F＝0，∴D＝－2，E＝－433，F＝1，∴△ABC外接圆的圆心为1，233，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为1＋2332＝213.]2．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2,6]B．[4,8]C．[2，32]D．[22，32]A[由题意知圆心的坐标为(2,0)，半径r＝2，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|2＋2|1＋1＝22，所以圆上的点到直线的最大距离是d＋r＝32，最小距离是d－r＝2.易知A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝22，所以2≤S△ABP≤6.故选A.]解决与圆有关的问题一般有2种方法(1)几何法，通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．1．(借助几何性质求圆的方程)圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为()A．x2＋y2－2x－3＝0B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2－4x＝0D．x2＋y2＋2x－3＝0C[由题意设所求圆的方程为(x－m)2＋y2＝4(m＞0)，则|3m＋4|32＋42＝2，解得m＝2或m＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故选C.]2．(借助待定系数法求圆的方程)已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成的两段弧长之比为1∶2，则圆C的方程为________．x2＋y±332＝43[因为圆C关于y轴对称，所以圆心C在y轴上，可设C(0，b)，设圆C的半径为r，则圆C的方程为x2＋(y－b)2＝r2.依题意，得12＋－b2＝r2，|b|＝12r，解得r2＝43，b＝±33.所以圆C的方程为x2＋y±332＝43.]3．[一题多解](平面向量与圆的交汇)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若AB→·CD→＝0，则点A的横坐标为________．3[法一：设A(a,2a)，a＞0，则Ca＋52，a，∴圆C的方程为x－a＋522＋(y－a)2＝a－524＋a2，由x－a＋522＋y－a2＝a－524＋a2，y＝2x，得xD＝1，yD＝2，∴AB→·CD→＝(5－a，－2a)·－a－32，2－a＝a2－2a－152＋2a2－4a＝0，∴a＝3或a＝－1，又a＞0，∴a＝3，∴点A的横坐标为3.法二：由题意易得∠BAD＝45°.设直线DB的倾斜角为θ，则tanθ＝－12，∴tan∠ABO＝－tan(θ－45°)＝3，∴kAB＝－tan∠ABO＝－3.∴AB的方程为y＝－3(x－5)，由y＝－3x－5，y＝2x，得xA＝3.]直线与圆、圆与圆的位置关系[高考解读]以直线与圆相交、相切为载体，考查数形结合的能力，圆的几何性质及勾股定理的有关知识，知识相对综合，有一定的区分度.1．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝23，则|CD|＝________.4[由直线l：mx＋y＋3m－3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O到直线l的距离为d＝|3m－3|m2＋1.由|AB|＝23得3m－3m2＋12＋(3)2＝12，解得m＝－33.又直线l的斜率为－m＝33，所以直线l的倾斜角α＝π6.画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝π6.在Rt△CDE中，可得|CD|＝|AB|cosα＝23×23＝4.]2．(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若OM→·ON→＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.[解](1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1.因为直线l与圆C交于两点，所以|2k－3＋1|1＋k21，解得4－73k4＋73.所以k的取值范围为4－73，4＋73.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．将y＝kx＋1代入圆的方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.所以x1＋x2＝41＋k1＋k2，x1x2＝71＋k2.OM→·ON→＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝4k1＋k1＋k2＋8.由题设可得4k1＋k1＋k2＋8＝12，解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1.故圆C的圆心(2,3)在直线l上，所以|MN|＝2.1．求解圆的弦长的3种方法几何法根据半径，弦心距，弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2＝d2＋l24(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)公式法根据公式l＝1＋k2|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)距离法联立直线与圆的方程，解方程组求出两交点坐标，用两点间距离公式求解2.直线与圆相切问题的求解策略(1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式；(2)切线长的计算：过点P向圆引切线PA，则|PA|＝|PC|2－r2(其中C为圆心)．提醒：过圆外一点引圆的切线定有两条，注意切线斜率不存在的情形．1．(已知弦长求方程)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点，若|MN|＝255，则直线l的方程为________．y＝2x＋1或y＝12x＋1[直线l的方程为y＝kx＋1，圆心C(2,3)到直线l的距离d＝|2k－3＋1|k2＋1＝|2k－2|k2＋1，由R2＝d2＋|MN|22，得1＝2k－22k2＋1＋15，解得k＝2或12，故所求直线l的方程为y＝2x＋1或y＝12x＋1.]2．(与不等式交汇)过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A.33B．－33C．±33D．－3B[曲线y＝1－x2的图象如图所示：若直线l与曲线相交于A，B两点，则直线l的斜率k＜0，设l：y＝k(x－2)，则点O到l的距离d＝－2kk2＋1.又S△AOB＝12|AB|·d＝12×21－d2·d＝1－d2·d2≤1－d2＋d22＝12，当且仅当1－d2＝d2，即d2＝12时，S△AOB取得最大值，所以2k2k2＋1＝12，∴k2＝13，∴k＝－33.故选B.]3．(与物理学科交汇)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A．－53或－35B．－32或－23C．－54或－45D．－43或－34D[由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线方程为y＋3＝k(x－2)，