2020版高考数学二轮复习 第2部分 专题1 三角函数和解三角形 第1讲 三角函数的图象和性质课件

第二部分讲练篇专题一三角函数和解三角形第1讲三角函数的图象和性质自主练考点整合[做小题——激活思维]1．已知tanα＝－34，且α是第二象限角，那么cosα等于()A.45B．－45C.35D．－35[答案]B2．函数y＝tan2x的定义域是()A.xx≠kπ＋π4，k∈ZB.xx≠kπ2＋π8，k∈ZC.xx≠kπ＋π8，k∈ZD.xx≠kπ2＋π4，k∈Z[答案]DA[由sinx＝3sinx－π2＝－3cosx，解得tanx＝－3，所以cosxcosx＋π2＝－sinxcosx＝－sinxcosxsin2x＋cos2x＝－tanxtan2x＋1＝310，故选A.]3．(2019·济宁一模)若sinx＝3sinx－π2，则cosx·cosx＋π2＝()A.310B．－310C.34D．－34C[由题意知π3＝2πω·k(k∈Z)，解得ω＝6k，令k＝1，即得ωmin＝6.]4．设函数f(x)＝cosωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于()A.13B．3C．6D．95．下列函数中同时具有以下性质的是()①最小正周期是π；②图象关于直线x＝π3对称；③在－π6，π3上是增函数；④图象的一个对称中心为π12，0.A．y＝sinx2＋π6B．y＝sin2x＋π3C．y＝sin2x－π6D．y＝sin2x－π3[答案]C[扣要点——查缺补漏]1．同角三角函数基本关系式与诱导公式(1)同角三角函数基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanαα≠π2＋kπ，k∈Z，如T1.(2)诱导公式：角k2π±α(k∈Z)的三角函数口诀：奇变偶不变，符号看象限，如T3.2．三角函数的图象及变换(1)五点法作简图：y＝Asin(ωx＋φ)的图象可令ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x的值，描出点作图．(2)图象变换：平移、伸缩、对称，如T4.特别提醒：由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移φω个单位长度，而不是|φ|个单位长度．3．三角函数的性质(1)整体思想研究性质：对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，可令t＝ωx＋φ，考虑y＝Asint的性质．如T2，T5.(2)数形结合思想研究性质．研考题举题固法三角函数的定义、诱导公式及基本关系(5年4考)[高考解读]高考对本部分内容的考查多以三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数关系式间的综合利用为主，且常与简单的三角恒等变换相结合.1．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝23，则|a－b|＝()A.15B.55C.255D．1切入点：①终边上两点A(1，a)，B(2，b)；②cos2α＝23.关键点：用A，B两点坐标表示α的正切值tanα，然后利用弦化切将cos2α＝23用|a－b|表示出来．B[由题可知cosα0.因为cos2α＝2cos2α－1＝23，所以cosα＝56，sinα＝±16，得|tanα|＝55.由题意知|tanα|＝a－b1－2，所以|a－b|＝55.]2．(2017·全国卷Ⅲ)已知sinα－cosα＝43，则sin2α＝()A．－79B．－29C.29D.79切入点：sinα－cosα＝43.关键点：利用平方关系sin2α＋cos2α＝1及倍角公式将sin2α用sinα－cosα表示出来．A[∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α＝432＝169，∴sin2α＝－79.故选A.][教师备选题]1．(2014·全国卷Ⅰ)若tanα0，则()A．sin2α0B．cosα0C．sinα0D．cos2α0A[利用tanα0，求出角α的象限，再判断．∵tanα0，∴α∈kπ，kπ＋π2(k∈Z)是第一、三象限角．∴sinα，cosα都可正、可负，排除B，C.而2α∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)，结合正、余弦函数图象可知，A正确．取α＝π4，则tanα＝10，而cos2α＝0，故D不正确．]2．(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P－35，－45.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cosβ的值．[解](1)由角α的终边过点P－35，－45得sinα＝－45，所以sin(α＋π)＝－sinα＝45.(2)由角α的终边过点P－35，－45，得cosα＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－5665或cosβ＝1665.三角函数求值与化简的3种方法1弦切互化法：主要利用公式tanα＝sinαcosα化成正弦、余弦；2和积转换法：利用sinθ±cosθ2＝1±2sinθcosθ进行变形、转化；3巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ1＋tan2θ＝tanπ4.D[∵sinα＝－513，α为第四象限角，∴cosα＝1－sin2α＝1213，∴tanα＝sinαcosα＝－512.故选D.]1．(同角三角函数基本关系式的应用)若sinα＝－513，且α为第四象限角，则tanα的值等于()A.125B．－125C.512D．－51213[由角α与角β的终边关于y轴对称，可得β＝(2k＋1)π－α，k∈Z，∵sinα＝13，∴sinβ＝sin[(2k＋1)π－α]＝sinα＝13.]2．(三角函数的定义与诱导公式的应用)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝13，则sinβ＝________.－2－1[由sinα＋2cosα＝0得tanα＝－2.∴2sinαcosα－cos2α＝2sinαcosα－cos2αsin2α＋cos2α＝2tanα－1tan2α＋1＝2×－2－1－22＋1＝－55＝－1.]3．[新题型](同角三角函数基本关系式及其应用)已知sinα＋2cosα＝0，则tanα＝________，2sinαcosα－cos2α＝________.4．(三角函数的意义与简单的三角恒等变换结合)在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在单位圆O上，设∠xOP＝α，且α∈π4，3π4.若cosα＋π4＝－1213，则x0的值为________．－7226[因为点P(x0，y0)在单位圆O上，且∠xOP＝α，所以由三角函数的定义知x0＝cosα.因为α∈π4，3π4，所以α＋π4∈π2，π，又cosα＋π4＝－1213，所以sinα＋π4＝513，所以x0＝cosα＝cosα＋π4－π4＝cosα＋π4cosπ4＋sinα＋π4sinπ4＝－7226.]三角函数的图象及应用(5年3考)[高考解读]高考对该部分内容的考查主要有两种方式：1考查三角函数图象变换；2由图定式并与三角函数的性质相结合.预计2020年还会这样考查.A[由题意及函数y＝sinωx的图象与性质可知，12T＝3π4－π4，∴T＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.故选A.]1．(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝π4，x2＝3π4是函数f(x)＝sinωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝()A．2B.32C．1D.122．(2016·全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为()A．y＝2sin2x＋π4B．y＝2sin2x＋π3C．y＝2sin2x－π4D．y＝2sin2x－π3切入点：①y＝2sin2x＋π6；②向右平移14个周期．关键点：y＝Asin(ωx＋φ)的图象平移规律．D[先求出函数的周期，再根据函数图象的平移变换规律求出对应的函数解析式．函数y＝2sin2x＋π6的周期为π，将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin2x－π4＋π6＝2sin2x－π3，故选D.]3．(2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A.kπ－14，kπ＋34，k∈ZB.2kπ－14，2kπ＋34，k∈ZC.k－14，k＋34，k∈ZD.2k－14，2k＋34，k∈Z切入点：图象与x轴交于点14，0，54，0.关键点：逆用五点作图求解析式．D[由已知图象可求得ω与φ的值，然后利用余弦函数的单调区间求解．由题图知，周期T＝254－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝π4，∴f(x)＝cosπx＋π4.由2kππx＋π42kπ＋π，得2k－14x2k＋34，k∈Z，∴f(x)的单调递减区间为2k－14，2k＋34，k∈Z.故选D.]π3[首先利用辅助角公式将函数y＝sinx－3cosx化为正弦型函数，再进行平移变换．∵y＝sinx－3cosx＝2sinx－π3，∴函数y＝sinx－3cosx的图象可由函数y＝2sinx的图象向右平移π3个单位长度得到．][教师备选题]1．(2016·全国卷Ⅲ)函数y＝sinx－3cosx的图象可由函数y＝2sinx的图象至少向右平移________个单位长度得到．2．(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω0，|φ|π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx＋φ0π2π3π22πxπ35π6Asin(ωx＋φ)05－50(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y＝g(x)图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．[解](1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f(x)＝5sin2x－π6.ωx＋φ0π2π3π22πxπ12π37π125π61312πAsin(ωx＋φ)050－50(2)由(1)知f(x)＝5sin2x－π6，因此，g(x)＝5sin2x＋π6－π6＝5sin2x＋π6.因为y＝sinx的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，令2x＋π6＝kπ，k∈Z，解得x＝kπ2－π12，k∈Z，即y＝g(x)图象的对称中心为kπ2－π12，0，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为－π12，0.1．图象变换抓“实质”图象变换的实质——点的坐标变换．三角函数图象的伸缩、平移变换，可以利用两个函数图象上的两个特征点之间的对应确定变换的方式，一般选取与y轴最近的最高点或最低点，当然也可以选取在原点右侧的第一个中心点，根据这些点的坐标即可确定变换的方式、平移的长度与方向等．2