2020版高考数学大一轮复习 坐标系与参数方程 第2讲 参数方程课件 理 新人教A版选修4-4

第2讲参数方程选修4-4坐标系与参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过___________，从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如________，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝____，那么x＝f（t），y＝g（t）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的__________保持一致．消去参数x＝f(t)g(t)取值范围2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程名称普通方程参数方程直线y－y0＝k(x－x0)x＝__________y＝__________(t为参数)圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝R2x＝__________y＝__________(θ为参数且0≤θ2π)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)x＝________y＝________(t为参数且0≤t2π)抛物线y2＝2px(p0)x＝______y＝_____(t为参数)acostbsint2pt22ptx0＋tcosαy0＋tsinαx0＋Rcosθy0＋Rsinθ[提醒](1)参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos2θ＋sin2θ＝1，1＋tan2θ＝1cos2θ.(2)利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题，常转化三角函数最值问题．(3)将参数方程化为普通方程，在消参数的过程中，要注意x，y的取值范围，保持等价转化．(4)确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多余的解．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x＝t，y＝t－a(t为参数)过椭圆C：x＝3cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)的右顶点，求常数a的值．解：直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭圆C的普通方程为x29＋y24＝1，所以椭圆C的右顶点坐标为(3，0)，若直线l过点(3，0)，则3－a＝0，所以a＝3.已知两曲线参数方程分别为x＝5cosθ，y＝sinθ(0≤θ≤π)和x＝54t2，y＝t(t∈R)，求它们的交点坐标．解：根据题意，两曲线分别是椭圆x25＋y2＝1的上半部分和开口向右的抛物线y2＝45x，联立易得它们的交点坐标为1，255.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．解：圆的半径为12，记圆心为C12，0，连接CP，则∠PCx＝2θ，故xP＝12＋12cos2θ＝cos2θ，yP＝12sin2θ＝sinθcosθ(θ为参数)．所以圆的参数方程为x＝cos2θ，y＝sinθcosθ(θ为参数)．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是x＝t＋1，y＝t－3(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，求直线l被圆C截得的弦长．解：化为直角坐标方程，利用圆的几何性质求解．直线l的普通方程是x－y－4＝0，圆C的直角坐标方程是x2＋y2－4x＝0，标准方程为(x－2)2＋y2＝4.圆心(2，0)到直线的距离为|2－4|2＝2，所以直线l被圆C截得的弦长为2r2－d2＝24－2＝22.[典例引领]已知曲线C1：x＝－4＋cost，y＝3＋sint(t为参数)，曲线C2：x＝8cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)．化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．参数方程与普通方程的互化【解】曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，曲线C2：x264＋y29＝1，曲线C1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；曲线C2是中心为坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．将下列参数方程化为普通方程．(1)x＝3k1＋k2，y＝6k21＋k2；(2)x＝1－sin2θ，y＝sinθ＋cosθ.解：(1)两式相除，得k＝y2x，将其代入得x＝3·y2x1＋y2x2，化简得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)．(2)由(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝2－(1－sin2θ)，x＝1－sin2θ∈[0，2]，得y2＝2－x.即所求的普通方程为y2＝2－x，x∈[0，2]．[典例引领](2017·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝a＋4t，y＝1－t(t为参数)．(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a.参数方程的应用【解】(1)曲线C的普通方程为x29＋y2＝1.当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.由x＋4y－3＝0，x29＋y2＝1解得x＝3，y＝0，或x＝－2125，y＝2425.从而C与l的交点坐标为(3，0)，－2125，2425.(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离为d＝|3cosθ＋4sinθ－a－4|17.当a≥－4时，d的最大值为a＋917.由题设得a＋917＝17，所以a＝8；当a－4时，d的最大值为－a＋117，由题设得－a＋117＝17，所以a＝－16.综上，a＝8或a＝－16.(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等．(2)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.①弦长l＝|t1－t2|；②弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；③|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.(2018·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2cosθy＝4sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝1＋tcosαy＝2＋tsinα(t为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率．解：(1)曲线C的直角坐标方程为x24＋y216＝1.当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝－4（2cosα＋sinα）1＋3cos2α，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.[典例引领](2019·贵州省适应性考试)曲线C1的参数方程为x＝2＋2cosαy＝2sinα(α为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ.(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)过原点且倾斜角为α(π6α≤π4)的射线l与曲线C1，C2分别相交于A，B两点(A，B异于原点)，求|OA|·|OB|的取值范围．极坐标方程与参数方程的综合问题【解】(1)曲线C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，故曲线C1的极坐标方程为ρ2＝4ρcosθ，即ρ＝4cosθ.由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ，两边同乘以ρ，得ρ2cos2θ＝ρsinθ，故曲线C2的直角坐标方程为x2＝y.(2)法一：射线l的极坐标方程为θ＝α，π6α≤π4，把射线l的极坐标方程代入曲线C1的极坐标方程得|OA|＝ρ＝4cosα，把射线l的极坐标方程代入曲线C2的极坐标方程得|OB|＝ρ＝sinαcos2α，所以|OA|·|OB|＝4cosα·sinαcos2α＝4tanα，因为π6α≤π4，所以|OA|·|OB|的取值范围是433，4.法二：射线l的参数方程为x＝tcosαy＝tsinα(t为参数，π6α≤π4)．把射线l的参数方程代入曲线C1的普通方程得t2－4tcosα＝0.解得t1＝0，t2＝4cosα.故|OA|＝|t2|＝4cosα.同理可得|OB|＝sinαcos2α，所以|OA|·|OB|＝4cosα·sinαcos2α＝4tanα，因为π6α≤π4，所以|OA|·|OB|的取值范围是433，4.涉及参数方程和极坐标方程的综合问题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2019·南宁二中、柳州高中联考)在直角坐标系中，曲线C的参数方程为x＝3cosα，y＝2sinα(α为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为ρ＝4sinθ－π6.(1)写出曲线C的极坐标方程以及曲线D的直角坐标方程；(2)若过点A22，π4(极坐标)且倾斜角为π3的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求|AP||AM|·|AN|的值．解：(1)由题意可得曲线C的普通方程为x29＋y24＝1，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入曲线C的普通方程可知，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ9＋ρ2sin2θ4＝1.因为曲线D的极坐标方程为ρ＝4sinθ－π6，所以ρ2＝4ρsinθ－π6＝4ρ32sinθ－12cosθ，又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以x2＋y2＝23y－2x，所以曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ9＋ρ2sin2θ4＝1；曲线D的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－23y＝0.(2)点A22，π4，则x＝22cosπ4＝2，y＝22sinπ4＝2，所以A(2，2)．因为直线l过点A(2，2)且倾斜角为π3，所以直线l的参数方程为x＝2＋tcosπ3，y＝2＋tsinπ3(t为参数)，代入x29＋y24＝1可得，314t2＋(8＋183)t＋16＝0，设M，N对应的参数分别为t1，t2，由一元二次方程根与系数的关系得，t1＋t2＝－32＋72331，t1t2＝6431，所以|AP||AM|·|AN|＝t1＋t22|t1t2|＝4＋9316.直线参数方程的应用已知直线l经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α，点M(x，y)为l上任意一点，则直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．(1)若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则|M0M1―→||M0M2―→|＝|t1t2|，|M1M2―→|＝|t2－t1|＝（t2＋t1）2－4t1t2.(2)若线段M1M2的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3＝t1＋t22.(3)若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0，y0)，则t1＋t2＝0，t1t20.[注意]在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值．否则参数不具备该几何含义．圆的参数方程的应用(1)解决与圆上的动点有关的距离取