2020版高考数学大一轮复习 坐标系与参数方程 1 第1讲 坐标系课件 文 新人教A版选修4-4

知识点考纲下载坐标系理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.选修44坐标系与参数方程知识点考纲下载参数方程了解参数方程，了解参数的意义．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.选修44坐标系与参数方程第1讲坐标系选修44坐标系与参数方程1．坐标系(1)伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λ·x（λ0），y′＝μ·y（μ0）的作用下，点P(x，y)对应到点(λx，μy)，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．(2)极坐标系在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝_________，tanθ＝_____________.x2＋y2xy（x≠0）3．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0.(2)直线过点M(a，0)且垂直于极轴：______________．(3)直线过点Mb，π2且平行于极轴：_____________．ρcosθ＝aρsinθ＝b4．圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则该圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r.(2)当圆心位于M(a，0)，半径为a：_____________．(3)当圆心位于Ma，π2，半径为a：_____________．ρ＝2acosθρ＝2asinθ判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．()(2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．()(3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．()答案：(1)×(2)√(3)×圆心C的极坐标为2，π4，且圆C经过极点．求圆C的极坐标方程．解：圆心C的直角坐标为(2，2)，则设圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝r2，依题意可知r2＝(0－2)2＋(0－2)2＝4，故圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，化为极坐标方程为ρ2－22ρ(sinθ＋cosθ)＝0，即ρ＝22(sinθ＋cosθ)．确定极坐标方程ρ2cos2θ－2ρcosθ＝1表示的曲线．解：由极坐标方程ρ2cos2θ－2ρcosθ＝1，得ρ2(cos2θ－sin2θ)－2ρcosθ＝1.由互化公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2，得x2－y2－2x＝1，即(x－1)2－y2＝2.故此方程表示以(1，0)为中心，F1(－1，0)，F2(3，0)为焦点的等轴双曲线.(1)已知直线l的极坐标方程为2ρsinθ－π4＝2，点A的极坐标为A22，7π4，求点A到直线l的距离．(2)把曲线C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0化为极坐标方程．极坐标与直角坐标的互化(师生共研)【解】(1)由2ρsinθ－π4＝2，得2ρ22sinθ－22cosθ＝2，所以y－x＝1.由点A的极坐标为22，7π4得点A的直角坐标为(2，－2)，所以d＝|2＋2＋1|2＝522.即点A到直线l的距离为522.(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0，所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.极坐标方程与直角坐标方程的互化(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入直角坐标方程并化简即可．(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．1．(2018·高考江苏卷)在极坐标系中，直线l的方程为ρsinπ6－θ＝2，曲线C的方程为ρ＝4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．解：因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，所以曲线C是圆心为(2，0)，直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为ρsinπ6－θ＝2，则直线l过A(4，0)，倾斜角为π6，所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB＝π6.连接OB.因为OA为直径，从而∠OBA＝π2，所以AB＝4cosπ6＝23.因此，直线l被曲线C截得的弦长为23.2．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcosθ－π4＝2.(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4.因为ρ2－22ρcosθ－π4＝2，所以ρ2－22ρcosθcosπ4＋sinθsinπ4＝2.所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsinθ＋π4＝22.(2019·高考全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2，0)，B2，π4，C2，3π4，D(2，π)，弧AB︵，BC︵，CD︵所在圆的圆心分别是(1，0)，1，π2，(1，π)，曲线M1是弧AB︵，曲线M2是弧BC︵，曲线M3是弧CD︵.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝3，求P的极坐标．求曲线的极坐标方程(师生共研)【解】(1)由题设可得，弧AB︵，BC︵，CD︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ.所以M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ0≤θ≤π4，M2的极坐标方程为ρ＝2sinθπ4≤θ≤3π4，M3的极坐标方程为ρ＝－2cosθ3π4≤θ≤π.(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ≤π4，则2cosθ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sinθ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3；若3π4≤θ≤π，则－2cosθ＝3，解得θ＝5π6.综上，P的极坐标为3，π6或3，π3或3，2π3或3，5π6.求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点．(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式．(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．1．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O作圆C：ρ＝8cosθ的弦ON，交圆C于点N.求ON的中点M的轨迹的极坐标方程．解：设M(ρ，θ)，N(ρ1，θ1)．因为N点在圆ρ＝8cosθ上，所以ρ1＝8cosθ1.①因为M是ON的中点，所以ρ1＝2ρ，θ1＝θ，代入①式得2ρ＝8cosθ，故点M的轨迹的极坐标方程是ρ＝4cosθ.2．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2cosα，y＝2＋2sinα(α为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ(ρ≥0，0≤θπ)．写出曲线C1的极坐标方程，并求C1与C2交点的极坐标．解：由题意可得曲线C1的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，联立ρ＝4sinθ，ρcos2θ＝sinθ，得4sinθcos2θ＝sinθ，此时0≤θπ，①当sinθ＝0时，θ＝0，ρ＝0，得交点的极坐标为(0，0)；②当sinθ≠0时，cos2θ＝14，当cosθ＝12时，θ＝π3，ρ＝23，得交点的极坐标为23，π3，当cosθ＝－12时，θ＝2π3，ρ＝23，得交点的极坐标为23，2π3，所以C1与C2交点的极坐标为(0，0)，23，π3，23，2π3.(2019·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2＋cosα，y＝2＋sinα(α为参数)，直线C2的方程为y＝3x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求1|OA|＋1|OB|.曲线极坐标方程的应用(师生共研)【解】(1)由曲线C1的参数方程为x＝2＋cosα，y＝2＋sinα(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0，由于直线C2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)(tanθ＝3)．(2)由ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0，θ＝π3得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7，所以1|OA|＋1|OB|＝|OA|＋|OB||OA|·|OB|＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、面积等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．1．(2019·湖北省八校联考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x＝cosφ，y＝1＋sinφ(其中φ为参数)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C的极坐标方程；(2)设直线l的极坐标方程是ρsinθ＋π3＝2，射线OM：θ＝π6与圆C的交点为P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．解：(1)圆C的普通方程为x2＋(y－1)2＝1，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(2)把θ＝π6代入圆的极坐标方程可得ρP＝1，把θ＝π6代入直线l的极坐标方程可得ρQ＝2，所以|PQ|＝|ρP－ρQ|＝1.2．(2019·开封高三定位考试)在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数)，圆C2：(x－2)2＋y2＝4，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程和交点A的极坐标；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为B(非坐标原点)，求