2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第6讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象

第6讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用第四章三角函数、解三角形1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT＝_____f＝1T＝ω2π________φ2πωωx＋φ2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x－φωπ2ω－φωπ－φω3π2ω－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.三角函数图象变换的两种方法(ω0)判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)把y＝sinx的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sin12x.()(2)将y＝sin2x的图象向右平移π3个单位长度，得到y＝sin2x－π3的图象．()(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.()(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.()(5)若函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝2kπ＋π2(k∈Z)．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×函数y＝cosx|tanx|0≤x≤π且x≠π2的图象为()解析：选C.因为|tanx|≥0，所以当x∈0，π2时，cosx≥0，y≥0，当x∈π2，π时，cosx≤0，y≤0.由图可知，故选C.(2016·高考四川卷)为了得到函数y＝sin2x－π3的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点()A．向左平行移动π3个单位长度B．向右平行移动π3个单位长度C．向左平行移动π6个单位长度D．向右平行移动π6个单位长度解析：选D.因为y＝sin2x－π3＝sin2x－π6，所以只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点向右平行移动π6个单位长度即可，故选D.已知函数f(x)＝2sinπ3x＋φ|φ|π2的图象经过点(0，1)，则该函数的振幅为____________，周期T为____________，频率为________________________，初相φ为____________．解析：振幅A＝2，T＝2ππ3＝6，f＝16，因为图象过点(0，1)，所以1＝2sinφ，所以sinφ＝12，又|φ|π2，所以φ＝π6.答案：2616π6已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0)的图象如图所示，则ω＝________．解析：由题图可知，T4＝2π3－π3＝π3，即T＝4π3，所以2πω＝4π3，故ω＝32.答案：32[典例引领](2019·济南高三模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，－π2φπ2的最小正周期是π，且当x＝π6时，f(x)取得最大值2.(1)求f(x)的解析式；(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)．五点法作图及图象变换【解】(1)因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为x＝π6时，f(x)取得最大值2.所以A＝2，同时2×π6＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，φ＝2kπ＋π6，k∈Z，因为－π2φπ2，所以φ＝π6，所以函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝2sin2x＋π6.(2)因为x∈[0，π]，所以2x＋π6∈π6，13π6，列表如下：2x＋π6π6π2π3π22π13π6x0π65π122π311π12πf(x)120－201描点、连线得图象：在本例条件下，若将函数f(x)的图象向右平移m(m0)个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，且y＝g(x)是偶函数，求m的最小值．解：由已知得y＝g(x)＝f(x－m)＝2sin[2(x－m)＋π6]＝2sin2x－2m－π6是偶函数，所以2m－π6＝π2(2k＋1)，k∈Z，m＝kπ2＋π3，k∈Z，又因为m0，所以m的最小值为π3.(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的两种作法①五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．②图象变换法：由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．(2)三角函数图象的左右平移时应注意的三点①弄清楚平移方向，平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．②注意平移前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．③由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为φω而不是|φ|.[提醒]y＝Asin(ωx＋φ)的图象横向伸缩规律，可联系周期计算公式T＝2π|ω|进行记忆；纵向伸缩规律，可联系函数的最值进行记忆．[通关练习]1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin2x＋2π3，则下面结论正确的是()A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2解析：选D.易知C1：y＝cosx＝sinx＋π2，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin2x＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y＝sin2x＋π12＋π2＝sin2x＋2π3的图象，即曲线C2，故选D.2．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω0，|φ|π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx＋φ0π2π3π22πxπ35π6Asin(ωx＋φ)05－50请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式．解：根据表中已知数据，得A＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如表：ωx＋φ0π2π3π22πxπ12π37π125π61312πAsin(ωx＋φ)050－50且函数解析式为f(x)＝5sin2x－π6.[典例引领](2019·兰州市诊断考试)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，如果x1＋x2＝2π3，则f(x1)＋f(x2)＝()A．32B．22C．0D．－12由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式【解析】由图知，T＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，因为π3，0在函数f(x)的图象上，所以sin2×π3＋φ＝0，即2π3＋φ＝kπ，k∈Z，又|φ|π2，所以φ＝π3，所以f(x)＝sin2x＋π3.因为x1＋x2＝2π3，所以f(x1)＋f(x2)＝sin2x1＋π3＋sin2x2＋π3＝sin2x1＋π3＋sin4π3－2x1＋π3＝sin2x1＋π3＋sin－2x1－π3＝0.【答案】C本例的图象不变，若x1，x2∈－π6，π3，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________．解析：由本例解析知f(x)＝sin2x＋π3，因为x1，x2∈－π6，π3，且f(x1)＝f(x2)，所以x1＋x22＝π12，所以x1＋x2＝π6，所以f(x1＋x2)＝sin2×π6＋π3＝32.答案：32确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，b＝M＋m2.(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝2πT.(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝3π2＋2kπ(k∈Z)．[通关练习]1．(2017·高考天津卷)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω0，|φ|π.若f5π8＝2，f11π8＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则()A．ω＝23，φ＝π12B．ω＝23，φ＝－11π12C．ω＝13，φ＝－11π24D．ω＝13，φ＝7π24解析：选A.由f5π8＝2，得5π8ω＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，①由f11π8＝0，得11π8ω＋φ＝k′π(k′∈Z)，②由①②得ω＝－23＋43(k′－2k)，又最小正周期T＝2πω＞2π，所以0＜ω＜1，ω＝23，又|φ|＜π，将ω＝23代入①得φ＝π12.选项A符合．2．(2019·兰州市实战考试)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0，0φπ)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________．解析：由题意得，A＝3，T＝4＝2πω，ω＝π2.又因为f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，所以φ＝π2＋kπ，k∈Z，取k＝0，则φ＝π2，所以f(x)＝3cosπ2x＋π2，所以f(1)＝－3.答案：－3三角函数的图象与性质的综合问题是每年高考的热点内容，题型多为解答题，难度为中档题．高考对三角函数的图象与性质的综合应用问题的考查主要有以下五个命题角度：(1)图象变换与函数性质；(2)恒等变换与函数性质；(3)三角函数图象与性质；(4)三角函数性质与平面向量；(5)三角函数性质与解三角形((4)、(5)后面讲)．三角函数图象与性质的综合应用(高频考点)[典例引领]角度一图象变换与函数性质(2019·陕西省高三教学质量检测(一))将函数f(x)＝sin(2x＋φ)|φ|π2的图象向左平移π6个单位长度后关于原点对称，则函数f(x)在0，π2上的最小值为()A．－32B．－12C.12D.32【解析】将f(x)＝sin(2x＋φ)的图象左移π6个单位长度得y＝sin2（x＋π6）＋φ＝sin2x＋π3＋φ的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则π3＋φ＝kπ(k∈Z)，且|φ|π2，所以φ＝－π3，即f(x)＝sin2x－π3，当x∈0，π2时，2x－π3∈－π3，2π3，所以当2x－π3＝－π3，即x＝0时，f(x)取得最小值，最小值为－32，选A.【答案】A角度二恒等变换与函数性质(2016·高考天津卷)已知函数f(x)＝4tanx·sinπ2－xcosx－π3－3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间－π4，π4上的单调性．【解】(1)f(x)的定义域为{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}．f(x)＝4tanxcosxcosx－π3－3＝4sinxcosx－π3－3＝4sinx12cosx＋32sinx－3＝2sinxcosx＋23si