2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第4讲 简单的三角恒等变换课件 理 新人教

第4讲简单的三角恒等变换第四章三角函数、解三角形[典例引领]化简：(1)（1＋sinθ＋cosθ）sinθ2－cosθ22＋2cosθ(0θπ)；(2)1tanα2－tanα2·1＋tanα·tanα2.三角函数式的化简【解】(1)原式＝2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2sinθ2－cosθ24cos2θ2＝cosθ2sin2θ2－cos2θ2cosθ2＝－cosθ2·cosθcosθ2.因为0θπ，所以0θ2π2，所以cosθ20.所以原式＝－cosθ.(2)原式＝cosα2sinα2－sinα2cosα2·1＋sinαcosα·sinα2cosα2＝cos2α2－sin2α2sinα2cosα2·cosαcosα2＋sinαsinα2cosαcosα2＝2cosαsinα·cosα2cosαcosα2＝2sinα.三角函数式的化简要遵循“三看”原则[通关练习]1．(2019·长沙模拟)化简：2sin（π－α）＋sin2αcos2α2＝________．解析：2sin（π－α）＋sin2αcos2α2＝2sinα＋2sinαcosα12（1＋cosα）＝4sinα（1＋cosα）1＋cosα＝4sinα.答案：4sinα2．化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x.解：原式＝－2sin2xcos2x＋122sinπ4－xcos2π4－xcosπ4－x＝12（1－sin22x）2sinπ4－xcosπ4－x＝12cos22xsinπ2－2x＝12cos2x.三角函数式的求值在高考中主要以选择题形式出现，有时以解答题某一步出现，试题难度较小．高考对三角函数求值的考查有以下三个命题角度：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角．三角函数式的求值(高频考点)[典例引领]角度一给角求值cos10°（1＋3tan10°）cos50°的值是________．【答案】2【解析】cos10°（1＋3tan10°）cos50°＝cos10°＋3sin10°cos50°＝2sin（10°＋30°）cos50°＝2sin40°sin40°＝2.角度二给值求值已知α∈0，π2，且2sin2α－sinαcosα－3cos2α＝0，求sinα＋π4sin2α＋cos2α＋1的值．【解】因为α∈0，π2，且2sin2α－sinαcosα－3cos2α＝0，则(2sinα－3cosα)(sinα＋cosα)＝0，所以2sinα＝3cosα，又sin2α＋cos2α＝1，所以cosα＝213，sinα＝313，所以sinα＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22（sinα＋cosα）（sinα＋cosα）2＋（cos2α－sin2α）＝268.角度三给值求角已知tanα，tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的两根，且α，β∈－π2，π2，则α＋β＝()A.π3B.π3或－2π3C．－π3或2π3D．－2π3【解析】由题意得tanα＋tanβ＝－330，tanαtanβ＝40，所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝3，且tanα0，tanβ0，又由α，β∈－π2，π2得α，β∈－π2，0，所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－2π3.【答案】D三角函数求值的3种情况[通关练习]1．计算：4tanπ123tan2π12－3＝()A.233B．－233C.239D．－239解析：选D.原式＝－23·2tanπ121－tan2π12＝－23tanπ6＝－23×33＝－239.2．(2019·唐山市五校联考)已知α是第三象限的角，且tanα＝2，则sinα＋π4＝()A．－1010B.1010C．－31010D.31010解析：选C.因为α是第三象限的角，tanα＝2，且sinαcosα＝tanα，sin2α＋cos2α＝1，所以cosα＝－11＋tan2α＝－55，sinα＝－255，则sinα＋π4＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝－255×22－55×22＝－31010，故选C.3．(2019·南充模拟)已知α∈0，π2，β∈0，π2，且cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，则β＝________．解析：因为α∈0，π2，β∈0，π2，且cosα＝17，cosα＋β＝－1114，所以sinα＝1－cos2α＝437，sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝5314，则sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝5314×17－－1114×437＝32，因为β∈0，π2，所以β＝π3.答案：π3[典例引领]如图，现要在一块半径为1m，圆心角为π3的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ的面积为S.(1)求S关于θ的函数关系式；(2)求S的最大值及相应的θ角．三角恒等变换的简单应用【解】(1)分别过P，Q作PD⊥OB于点D，QE⊥OB于点E，则四边形QEDP为矩形．由扇形半径为1m，得PD＝sinθ，OD＝cosθ.在Rt△OEQ中，OE＝33QE＝33PD，MN＝QP＝DE＝OD－OE＝cosθ－33sinθ，S＝MN·PD＝cosθ－33sinθ·sinθ＝sinθcosθ－33sin2θ，θ∈0，π3.(2)S＝12sin2θ－36(1－cos2θ)＝12sin2θ＋36cos2θ－36＝33sin2θ＋π6－36，因为θ∈0，π3，所以2θ＋π6∈π6，5π6，sin2θ＋π6∈12，1.当θ＝π6时，Smax＝36(m2)．利用三角恒等变换解决实际问题的思路(1)结合具体图形引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行化简，解决最优化问题．(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建模，再讨论变量的范围，最后作出结论并回答问题．[提醒]注意恰当选择自变量，并利用解直角三角形等知识表示有关线段．如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？解：连接OB，设∠AOB＝θ，则AB＝OBsinθ＝20sinθ，OA＝OBcosθ＝20cosθ，且θ∈0，π2.因为A，D关于原点对称，所以AD＝2OA＝40cosθ.设矩形ABCD的面积为S，则S＝AD·AB＝40cosθ·20sinθ＝400sin2θ.因为θ∈0，π2，所以当sin2θ＝1，即θ＝π4时，Smax＝400(m2)．此时AO＝DO＝102(m)．故当A、D距离圆心O为102m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400m2.三角恒等变换三大原则(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”“正用、逆用公式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等．易错防范在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数．(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦函数较好．