2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课

第3讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式第四章三角函数、解三角形1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝___________________________；cos(α∓β)＝__________________________；tan(α±β)＝________________α±β，α，β均不为kπ＋π2，k∈Z.sinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ±sinαsinβtanα±tanβ1∓tanαtanβ2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝_________________；cos2α＝_____________＝______________＝_______________；tan2α＝2tanα1－tan2αα，2α均不为kπ＋π2，k∈Z.2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α[提醒]三角函数公式的变形(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；(2)cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4.3．三角函数公式关系判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．()(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．()(3)cos80°cos20°－sin80°sin20°＝cos(80°－20°)＝cos60°＝12.()(4)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．()(5)存在实数α，使tan2α＝2tanα.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√(教材习题改编)已知cosα＝－35，α是第三象限角，则cos(π4＋α)为()A.210B．－210C.7210D．－7210解析：选A.因为cosα＝－35，α是第三象限的角，所以sinα＝－1－cos2α＝－1－（－35）2＝－45，所以cos(π4＋α)＝cosπ4cosα－sinπ4sinα＝22·(－35)－22·(－45)＝210.(2018·高考全国卷Ⅲ)若sinα＝13，则cos2α＝()A.89B.79C．－79D．－89解析：选B.cos2α＝1－2sin2α＝1－2×132＝79.(2017·高考江苏卷)若tanα－π4＝16，则tanα＝________．解析：tanα＝tanα－π4＋π4＝tanα－π4＋tanπ41－tanα－π4tanπ4＝16＋11－16＝75.答案：75sin15°＋sin75°的值是________．解析：sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin60°＝62.答案：62[典例引领](1)(2017·高考全国卷Ⅰ)已知α∈0，π2，tanα＝2，则cosα－π4＝________．(2)(2018·广州市综合测试(一))已知f(x)＝sinx＋π6，若sinα＝35π2απ，则fα＋π12＝________．三角函数公式的直接应用【解析】(1)因为α∈0，π2，且tanα＝sinαcosα＝2，所以sinα＝2cosα，又sin2α＋cos2α＝1，所以sinα＝255，cosα＝55，则cosα－π4＝cosαcosπ4＋sinαsinπ4＝55×22＋255×22＝31010.(2)因为sinα＝35π2απ，所以cosα＝－45，所以fα＋π12＝sinα＋π12＋π6＝sinα＋π4＝22sinα＋22cosα＝－210.【答案】(1)31010(2)－210利用三角函数公式应注意的问题(1)使用公式求值，首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．[通关练习]1．已知sinα＝35，α∈π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为()A．－211B.211C.112D．－112解析：选A.因为sinα＝35，α∈π2，π，所以cosα＝－1－sin2α＝－45，所以tanα＝sinαcosα＝－34.因为tan(π－β)＝12＝－tanβ，所以tanβ＝－12，则tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝－211.2．(2019·湖南省东部六校联考)已知角α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π3的值为()A.1225B.2425C．－2425D．－1225解析：选B.因为α为锐角，cosα＋π6＝450，所以α＋π6为锐角，sinα＋π6＝1－cos2α＋π6＝35，所以sin2α＋π3＝2sinα＋π6cosα＋π6＝2425，故选B.三角函数公式的活用是高考的热点，高考多以选择题或填空题的形式出现，研究三角函数的性质和解三角形常应用三角函数公式．高考对三角函数公式的考查主要有以下两个命题角度：(1)两角和与差公式的逆用及变形应用；(2)二倍角公式的活用．三角函数公式的活用(高频考点)[典例引领]角度一两角和与差公式的逆用及变形应用(1)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值为()A．－22B.22C.12D．－12(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________．【解析】(1)由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得tanA＋tanB1－tanAtanB＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝3π4，则C＝π4，cosC＝22.(2)因为sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，所以sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝1①，cos2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝0②，①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝1，所以sin(α＋β)＝－12.【答案】(1)B(2)－12角度二二倍角公式的活用cos15°－sin15°cos15°＋sin15°＝________．【解析】法一：原式＝1－tan15°1＋tan15°＝tan45°－tan15°1＋tan45°tan15°＝tan30°＝33.法二：原式＝2（sin45°cos15°－cos45°sin15°）2（sin45°cos15°＋cos45°sin15°）＝sin30°sin60°＝1232＝33.法三：因为cos15°－sin15°cos15°＋sin15°2＝1－sin30°1＋sin30°＝13.又cos15°－sin15°cos15°＋sin15°＞0，所以cos15°－sin15°cos15°＋sin15°＝33.【答案】33三角函数公式的应用技巧运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．[通关练习]1．(1－tan215°)cos215°的值等于()A.1－32B．1C.32D.12解析：选C.(1－tan215°)cos215°＝cos215°－sin215°＝cos30°＝32.2．(2019·河北衡水中学三调考试)若α∈π2，π，且3cos2α＝sinπ4－α，则sin2α的值为()A．－118B.118C．－1718D.1718解析：选C.由3cos2α＝sinπ4－α可得3(cos2α－sin2α)＝22(cosα－sinα)，又由α∈π2，π可知cosα－sinα≠0，于是3(cosα＋sinα)＝22，所以1＋2sinα·cosα＝118，故sin2α＝－1718.故选C.[典例引领](1)(2019·四川成都摸底)已知sin2α＝35π2＜2α＜π，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)等于()A．－2B．－1C．－211D.211角的变换(2)(2019·六盘水质检)已知cosα＝13，cos(α＋β)＝－13，且α、β∈0，π2，则cos(α－β)的值等于()A．－12B.12C．－13D.2327【解析】(1)因为sin2α＝35，2α∈π2，π，所以cos2α＝－45，tan2α＝－34，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan2α－tan（α－β）1＋tan2αtan（α－β）＝－2.(2)因为α∈0，π2，所以2α∈(0，π)．因为cosα＝13，所以cos2α＝2cos2α－1＝－79，所以sin2α＝1－cos22α＝429，而α，β∈0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝223，所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝－79×－13＋429×223＝2327.【答案】(1)A(2)D若本例(2)条件不变，求cos2β的值．解：因为cosα＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sinα＝223，sin(α＋β)＝223，cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－13×13＋223×223＝79.所以cos2β＝2cos2β－1＝2×792－1＝1781.角的变换技巧(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(3)常用拆分方法：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝α＋β2－α2＋β等．[通关练习]1．已知tan(α＋β)＝1，tanα－π3＝13，则tanβ＋π3的值为()A.23B.12C.34D.45解析：选B.tanβ＋π3＝tan（α＋β）－α－π3＝tan（α＋β）－tanα－π31＋tan（α＋β）tanα－π3＝1－131＋1×13＝12.2．(2019·湖南郴州模拟)已知α∈0，π4，sinα＋π4＝45，则tanα＝________．解析：因为α∈0，π4，sinα＋π4＝45，所以α＋π4∈π4，π2，所以cosα＋π4＝1－sin2α＋π4＝35，所以tanα＋π4＝43，所以tanα＝tanα＋π4－π4＝43－11＋43×1＝17.答案：17运用三角函数公式时，不但要熟悉公式的直接应用，还要熟悉公式的逆用及变形，如ta