2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式课

第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式第四章三角函数、解三角形1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：________________．(2)商数关系：tanα＝_________．sin2α＋cos2α＝1sinαcosα[提醒]基本关系式的变形sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝tanαcosα，cosα＝sinαtanα，(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.2．六组诱导公式组数一二三四五六角α＋2kπ(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα_______－sinαsinα_______cosα余弦cosα－cosα_______－cosαsinα_______－sinαcosαcosα－sinα组数一二三四五六正切tanαtanα－tanα_______口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限－tanα简记口诀：把角统一表示为kπ2±α(k∈Z)的形式，奇变偶不变，符号看象限．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意的角α，β，都有sin2α＋cos2β＝1.()(2)若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立．()(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()(4)若cos(nπ－θ)＝13(n∈Z)，则cosθ＝13.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×已知α是第二象限角，sinα＝513，则cosα＝()A．－1213B．－513C．513D．213解析：选A.因为α是第二象限角，所以cosα＜0，可排除选项C，D，又sin2α＋cos2α＝1，所以排除选项B.若sinθcosθ＝12，则tanθ＋cosθsinθ的值是()A．－2B．2C．±2D.12解析：选B.tanθ＋cosθsinθ＝sinθcosθ＋cosθsinθ＝1cosθsinθ＝2.sin2490°＝________；cos－523π＝________．解析：sin2490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin30°＝－12.cos－523π＝cos16π＋π＋π3＝cos(π＋π3)＝－cosπ3＝－12.答案：－12－12(2018·高考全国卷Ⅱ)已知tan(α－5π4)＝15，则tanα＝________．解析：法一：因为tanα－5π4＝15，所以tanα－tan5π41＋tanαtan5π4＝15，即tanα－11＋tanα＝15，解得tanα＝32.法二：因为tanα－5π4＝15，所以tanα＝tanα－5π4＋5π4＝tanα－5π4＋tan5π41－tanα－5π4tan5π4＝15＋11－15×1＝32.答案：32同角三角函数的基本关系式的应用很广泛，也比较灵活．高考中常以选择题、填空题的形式出现．高考对同角三角函数基本关系式的考查主要有以下三个命题角度：(1)知弦求弦；(2)知弦求切；(3)知切求弦．同角三角函数的基本关系式(高频考点)[典例引领]角度一知弦求弦(1)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为()A．－429B．－229C.229D.429(2)已知sinθ＋cosθ＝43，θ∈(0，π4)，则sinθ－cosθ的值为()A.23B.13C．－23D．－13【解析】(1)因为sin(π－α)＝sinα＝13，π2≤α≤π，所以cosα＝－223，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×13×－223＝－429.(2)(sinθ＋cosθ)2＝169，所以1＋2sinθcosθ＝169，所以2sinθcosθ＝79，由(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθ·cosθ＝1－79＝29，可得sinθ－cosθ＝±23.又因为θ∈(0，π4)，sinθcosθ，所以sinθ－cosθ＝－23.【答案】(1)A(2)C角度二知弦求切(方程思想)已知sinθ＋cosθ＝713，θ∈(0，π)，求tanθ.【解】法一：因为sinθ＋cosθ＝713，θ∈(0，π)，所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝49169，所以sinθcosθ＝－60169.由根与系数的关系知，sinθ，cosθ是方程x2－713x－60169＝0的两根，所以x1＝1213，x2＝－513.又sinθcosθ＝－60169＜0，所以sinθ＞0，cosθ＜0，所以sinθ＝1213，cosθ＝－513，所以tanθ＝sinθcosθ＝－125.法二：同法一得，sinθcosθ＝－60169，所以sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝－60169.齐次化切得，tanθtan2θ＋1＝－60169，即60tan2θ＋169tanθ＋60＝0.解得tanθ＝－125，或tanθ＝－512.由sinθ＋cosθ＝713＞0，sinθcosθ＝－60169＜0，θ∈（0，π），得θ∈π2，3π4，所以tanθ＝－125.角度三知切求弦(2016·高考全国卷Ⅲ)若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝()A.6425B.4825C．1D.1625【解析】法一：由tanα＝sinαcosα＝34，cos2α＋sin2α＝1，得sinα＝35，cosα＝45或sinα＝－35，cosα＝－45，则sin2α＝2sinαcosα＝2425，则cos2α＋2sin2α＝1625＋4825＝6425.法二：cos2α＋2sin2α＝cos2α＋4sinαcosαcos2α＋sin2α＝1＋4tanα1＋tan2α＝1＋31＋916＝6425.【答案】A同角三角函数基本关系式的应用技巧(1)知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解．如例1­1.(2)知弦求切：常通过平方关系sin2α＋cos2α＝1及商数关系tanα＝sinαcosα结合诱导公式进行求解．如例1­2.(3)知切求弦：通常先利用商数关系转化为sinα＝tanα·cosα的形式，然后用平方关系求解．若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，如asinα＋bcosαcsinα＋dcosα＝atanα＋bctanα＋d；asin2α＋bcos2α＋csinαcosα＝asin2α＋bcos2α＋csinαcosαsin2α＋cos2α＝atan2α＋b＋ctanαtan2α＋1.如例1­3.[通关练习]1．(2019·湖北八校联考)已知sin(π＋α)＝－13，则tanπ2－α的值为()A．22B．－22C.24D．±22解析：选D.因为sin(π＋α)＝－13，所以sinα＝13，则cosα＝±223，所以tanπ2－α＝sinπ2－αcosπ2－α＝cosαsinα＝±22.故选D.2．已知α是三角形的内角，且tanα＝－13，求sinα＋cosα的值．解：由tanα＝－13，得sinα＝－13cosα，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得109cos2α＝1，所以cos2α＝910，易知cosα＜0，所以cosα＝－31010，sinα＝1010，故sinα＋cosα＝－105.[典例引领](1)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则sin3π2＋θ＋2cos（π－θ）sinπ2－θ－sin（π－θ）等于()A．－32B.32C．0D.23(2)已知cosπ6－θ＝a，则cos5π6＋θ＋sin2π3－θ的值是________．诱导公式的应用【解析】(1)由题可知tanθ＝3，原式＝－cosθ－2cosθcosθ－sinθ＝－31－tanθ＝32.(2)因为cos5π6＋θ＝cosπ－π6－θ＝－cosπ6－θ＝－a.sin2π3－θ＝sinπ2＋π6－θ＝cosπ6－θ＝a，所以cos5π6＋θ＋sin2π3－θ＝0.【答案】(1)B(2)01．若本例(1)的条件3x－y＝0改为4x＋3y＝0，则cosπ2＋θ－sin（－π－θ）cos11π2－θ＋sin9π2＋θ＝________．解析：由题可知tanθ＝－43，原式＝－sinθ＋sin（π＋θ）cos6π－π2－θ＋sin4π＋π2＋θ＝－sinθ－sinθcosπ2＋θ＋sinπ2＋θ＝－2sinθ－sinθ＋cosθ＝2tanθtanθ－1＝2×－43－43－1＝87.答案：872．若本例(2)的条件cosπ6－θ＝a改为sinθ＋π12＝a，则cosθ＋7π12＝________．解析：cosθ＋7π12＝cosθ＋π12＋π2＝－sinθ＋π12＝－a.答案：－a(1)利用诱导公式化简的基本思路①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)利用诱导公式化简的基本要求①化简过程是恒等变形；②结构要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．[通关练习]1．(2019·福建省毕业班质量检测)若sin(π2＋α)＝－35，且α∈(π2，π)，则sin(π－2α)＝()A．2425B．1225C．－1225D．－2425解析：选D.由sin(π2＋α)＝cosα＝－35，且α∈(π2，π)，得sinα＝45，所以sin(π－2α)＝sin2α＝2sinαcosα＝－2425，选项D正确．2．sin(－1071°)sin99°＋sin(－171°)sin(－261°)＝________．解析：原式＝(－sin1071°)sin99°＋sin171°sin261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin9°cos9°－sin9°cos9°＝0.故填0.答案：03．已知A＝sin（kπ＋α）sinα＋cos（kπ＋α）cosα(k∈Z)，求A的值构成的集合．解：当k为偶数时，A＝sinαsinα＋cosαcosα＝2；当k为奇数时，A＝－sinαsinα－cosαcosα＝－2.所以A的值构成的集合是{2，－2}．诱导公式的再理解诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”与“偶”指的是k·π2＋α中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·π2＋α中，将α看成锐角时k·π2＋α所在的象限．三角函数求值与化简的三种常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tanα＝sinαcosα化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tanπ4＝….易错防范(1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是代表“任意”一个使三角函数有意义的角．“同角”的概念与角的表达形式有关，如：sin23α＋cos23α＝1，sinα2cosα2＝tanα2.(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．