2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 6 第5讲 三角函数的图象与性质（第2课时

第2课时三角函数的图象与性质(二)第四章三角函数、解三角形(1)函数f(x)＝2cos2x－π4－1是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数(2)若函数f(x)＝sinx＋φ3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝________．三角函数的周期性与奇偶性(师生共研)【解析】(1)因为f(x)＝2cos2x－π4－1＝cos2x－π4＝cos2x－π2＝sin2x.所以T＝2π2＝π，f(x)＝sin2x是奇函数．故函数f(x)是最小正周期为π的奇函数．(2)由已知f(x)＝sinx＋φ3是偶函数，可得φ3＝kπ＋π2，k∈Z，即φ＝3kπ＋3π2(k∈Z)，又φ∈[0，2π]，所以φ＝3π2.【答案】(1)A(2)3π2(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω0)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为2πω，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为πω求解．1．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是()A．y＝sin2x＋π2B．y＝cos2x＋π2C．y＝sin2x＋cos2xD．y＝sinx＋cosx解析：选B.y＝sin2x＋π2＝cos2x是偶函数，不符合题意，y＝cos2x＋π2＝－sin2x是T＝π的奇函数，符合题意，同理C，D均不是奇函数．2．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)ω0，|φ|π2的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则()A．f(x)在0，π2内单调递减B．f(x)在π4，4π3内单调递减C．f(x)在0，π2内单调递增D．f(x)在π4，4π3内单调递增解析：选A.由题意知f(x)＝2sinωx＋φ＋π4.因为f(x)的最小正周期为π，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin2x＋φ＋π4.由f(x)＝f(－x)知f(x)是偶函数，因此φ＋π4＝kπ＋π2(k∈Z)．又|φ|π2，所以φ＝π4，所以f(x)＝2cos2x.当02xπ，即0xπ2时，f(x)单调递减．故选A.(1)(2019·长春质量检测(二))函数f(x)＝2sin(2x＋φ)0φπ2，且f(0)＝1，则下列结论中正确的是()A．f(φ)＝2B．π6，0是f(x)图象的一个对称中心C．φ＝π3D．x＝－π6是f(x)图象的一条对称轴三角函数的对称轴或对称中心(师生共研)(2)(2018·高考江苏卷)已知函数y＝sin(2x＋φ)－π2φπ2的图象关于直线x＝π3对称，则φ的值是____________．【解析】(1)由f(0)＝1且0φπ2，可得φ＝π6，故选项C错误；可得f(x)＝2sin2x＋π6，把x＝φ＝π6代入f(x)＝2sin2x＋π6，得f(φ)＝2，选项A正确；fπ6＝2，f(x)取得最大值，选项B错误；而f－π6＝－1，非最值，选项D错误，故选A.(2)由函数y＝sin(2x＋φ)－π2φπ2的图象关于直线x＝π3对称，得sin2π3＋φ＝±1，因为－π2φπ2，所以π62π3＋φ7π6，则2π3＋φ＝π2，φ＝－π6.【答案】(1)A(2)－π6解决对称性问题的关键对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．已知函数①y＝sinx＋cosx，②y＝22sinxcosx，则下列结论正确的是()A．两个函数的图象均关于点(－π4，0)成中心对称图形B．两个函数的图象均关于直线x＝－π4成轴对称图形C．两个函数在区间(－π4，π4)上都是单调递增函数D．两个函数的最小正周期相同解析：选C.①y＝2sin(x＋π4)，图象的对称中心为(－π4＋kπ，0)，k∈Z，对称轴为x＝π4＋kπ，k∈Z，单调递增区间为[－3π4＋2kπ，π4＋2kπ]，k∈Z，最小正周期为2π；②y＝2sin2x图象的对称中心为(kπ2，0)，k∈Z，对称轴为x＝π4＋kπ2，k∈Z，单调递增区间为[－π4＋kπ，π4＋kπ]，k∈Z，最小正周期为π.故选C.已知函数f(x)＝sin(2π－x)·sin3π2－x－3cos2x＋3.(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)当x∈0，7π12时，求f(x)的最小值和最大值．三角函数的图象与性质的综合问题(师生共研)【解】(1)由题意，得f(x)＝(－sinx)(－cosx)－3cos2x＋3＝sinxcosx－3cos2x＋3＝12sin2x－32(cos2x＋1)＋3＝12sin2x－32cos2x＋32＝sin2x－π3＋32，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π；令2x－π3＝kπ＋π2(k∈Z)，则x＝kπ2＋5π12(k∈Z)，故所求图象的对称轴方程为x＝kπ2＋5π12(k∈Z)．(2)当0≤x≤7π12时，－π3≤2x－π3≤5π6，由函数图象(图略)可知，－32≤sin2x－π3≤1，即0≤sin(2x－π3)＋32≤2＋32.故f(x)的最小值为0，最大值为2＋32.解决三角函数图象与性质综合问题的方法先将y＝f(x)化为y＝asinx＋bcosx的形式，然后用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．已知函数f(x)＝2sin2x－π4.(1)求函数的最大值及相应的x值集合；(2)求函数f(x)的图象的对称轴与对称中心．解：(1)当sin2x－π4＝1时，2x－π4＝2kπ＋π2，k∈Z，即x＝kπ＋3π8，k∈Z，此时函数取得最大值为2；故f(x)的最大值为2，使函数取得最大值的x的集合为xx＝3π8＋kπ，k∈Z.(2)由2x－π4＝π2＋kπ，k∈Z，得x＝3π8＋12kπ，k∈Z.即函数f(x)的图象的对称轴为x＝3π8＋12kπ，k∈Z.由2x－π4＝kπ，k∈Z得x＝π8＋12kπ，k∈Z，即对称中心为π8＋12kπ，0，k∈Z.