2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 1 第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函

知识点考纲下载任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数了解任意角的概念.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.同角三角函数的基本关系式与诱导公式理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx＝tanx.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.第四章三角函数、解三角形知识点考纲下载和与差的三角函数公式会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.第四章三角函数、解三角形知识点考纲下载简单的三角恒等变换能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).三角函数的图象与性质能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间－π2，π2内的单调性.第四章三角函数、解三角形知识点考纲下载函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.第四章三角函数、解三角形知识点考纲下载正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.解三角形应用举例能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.第四章三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数第四章三角函数、解三角形1．任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着______从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．端点(2)角的分类按旋转方向正角按_________方向旋转而成的角负角按_________方向旋转而成的角零角射线没有旋转按终边位置前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合象限角角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角其他角的终边落在坐标轴上逆时针顺时针(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝___________________________．2．弧度制(1)定义：长度等于_________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.半径长{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}(2)公式角α的弧度数公式|α|＝___角度与弧度的换算1°＝_____rad，1rad＝180π°≈57°18′弧长公式l＝______扇形面积公式S＝______＝12|α|·r2lrπ180|α|·r12l·r3.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么___叫做α的正弦，记作sinα___叫做α的余弦，记作cosα___叫做α的正切，记作tanαyxyx三角函数正弦余弦正切各象限符号Ⅰ_______________Ⅱ_______________Ⅲ_______________Ⅳ_______________口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦正正正正负负负负正负正负三角函数正弦余弦正切三角函数线有向线段_____为正弦线，有向线段_____为余弦线，有向线段_____为正切线MPOMAT常用知识拓展1．象限角2．轴线角判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．()(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．()(3)不相等的角终边一定不相同．()(4)终边相同的角的同一三角函数值相等．()(5)若α∈0，π2，则tanα＞sinα.()(6)若α为第一象限角，则sinα＋cosα＞1.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√(6)√下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋9π4(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋5π4(k∈Z)解析：选C.由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为π4＋2kπ或k·360°＋45°(k∈Z)．若点sin5π6，cos5π6在角α的终边上，则sinα的值为()A．－32B．－12C．12D．32解析：选A.因为角α的终边上一点的坐标为sin5π6，cos5π6，即12，－32，所以由任意角的三角函数的定义，可得sinα＝－32，故选A.(教材习题改编)若θ满足sinθ＜0，cosθ＞0，则θ的终边在第________象限．解析：由sinθ0可知θ为第三或第四象限角，同样由cosθ0可知θ为第一或第四象限角，综上同时满足sinθ0且cosθ0的θ为第四象限角．答案：四已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．解析：设此扇形的半径为r，由题意得π3r＝2π，所以r＝6，所以此扇形的面积为12×2π×6＝6π.答案：6π(1)集合{α|kπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是()象限角及终边相同的角(典例迁移)(2)若角α是第二象限角，则α2是()A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角【解析】(1)当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2，n∈Z，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样；当k＝2n＋1时，2nπ＋π＋π4≤α≤2nπ＋π＋π2，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．故选C.(2)因为α是第二象限角，所以π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，所以π4＋kπ＜α2＜π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α2是第一象限角；当k为奇数时，α2是第三象限角．【答案】(1)C(2)C[迁移探究](变问法)在本例(2)的条件下，判断2α为第几象限角？解：因为α是第二象限角，所以90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，则180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°(k∈Z)，所以2α可能是第三象限角、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角．(1)表示区间角的三个步骤①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间；③起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．(2)象限角的两种判断方法①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．[提醒]注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角．1．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为______．解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°0°，得－765°≤k×360°－45°，解得－765360≤k－45360，从而k＝－2和k＝－1，代入得β＝－675°和β＝－315°.答案：－675°和－315°2．若sinα·tanα0，且cosαtanα0，则α是第________象限角．解析：由sinα·tanα0可知sinα，tanα异号，从而α为第二或第三象限角；由cosαtanα0，可知cosα，tanα异号，从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．答案：三已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？扇形的弧长、面积公式(师生共研)【解】(1)α＝60°＝π3，l＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R，0R10，所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10cm，α＝2rad.弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝12lr＝12|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．[提醒]运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制．1．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是()A．4B．2C．8D．1解析：选A.设扇形的弧长为l，则12l·2＝8，即l＝8，所以扇形的圆心角的弧度数为82＝4.2．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，则12α2r32πr2＝527，所以α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为lC＝5π6·2r32πr＝518.答案：518角度一利用三角函数定义求值(2019·安徽省考试试题)角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边经过点P(4，y)，且sinθ＝－35，则tanθ＝()A．－43B.43C．－34D.34三角函数的定义(多维探究)【解析】因为角θ的终边经过点P(4，y)，sinθ＝－350，所以角θ为第四象限角，则yy2＋16＝－35，所以y＝－3，所以tanθ＝－34.【答案】C角度二判断三角函数值的符号若sinαcosα0，cosαtanα0，则α的终边落在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】由sinαcosα0，得α的终边落在第一或第三象限，由cosαtanα＝cosα·sinαcosα＝sinα0，得α的终边落在第三或第四象限，综上α的终边落在第三象限．故选C.【答案】C(1)定义法求三角函数值的三种情况①已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解；②已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值；③已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．(2)三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值(sinα，cosα，tanα)中任意两个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．[提醒]若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．1．点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A．－12，32B．－32，－12C．－12，－32D．－32，12解析：选A.由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos2π3＝－12，y＝sin2π3＝32.所以Q点的坐标为－12，32.2．角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则tan2θ＝()A．2B．－4C．－34D．－43解析：选D.设P(a，2a)是角θ终边上任意一点(a≠0)，由任意角三角函数定义知tanθ＝yx＝2aa＝2，故tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－43.数形结合思想在三角函数中的应用若－3π4α－π2，从单位圆中的三角函数