2020版高考数学大一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第3讲 二项式定理课件 理

第3讲二项式定理第十章计数原理、概率、随机变量及其分布1．二项式定理(1)定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)．(2)通项：第k＋1项为Tk＋1＝_________．(3)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：____(k＝0，1，2，…，n)．Cknan－kbkCkn2．二项式系数的性质判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n的展开式中的第r项是Crnan－rbr.()(2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．()(3)在(a＋b)n的展开式中，每一项的二项式系数与a，b无关．()(4)通项Tr＋1＝Crnan－rbr中的a和b不能互换．()(5)(a＋b)n展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×(教材习题改编)二项式2x＋1x26的展开式中，常数项的值是()A．240B．60C．192D．180解析：选A.二项式2x＋1x26展开式的通项为Tr＋1＝Cr6(2x)6－r1x2r＝26－rCr6x6－3r，令6－3r＝0，得r＝2，所以常数项为26－2C26＝16×6×52×1＝240.(2018·高考全国卷Ⅲ)(x2＋2x)5的展开式中x4的系数为()A．10B．20C．40D．80解析：选C.Tr＋1＝Cr5(x2)5－r2xr＝Cr52rx10－3r，由10－3r＝4，得r＝2，所以x4的系数为C25×22＝40.1x＋xn的展开式中，第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的第4项为________．解析：由题意得C2n＝C6n，所以n＝8.所以1x＋x8展开式的第4项为T4＝C381x3x5＝56x2.答案：56x2在二项式x2－ax5的展开式中，x的系数是－10，则实数a的值为________．解析：Tr＋1＝Cr5(x2)5－r－axr＝(－a)rCr5x10－3r.当10－3r＝1时，r＝3，于是x的系数为(－a)3C35＝－10a3＝－10，a＝1.答案：1(高频考点)二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题．高考对二项式定理的考查主要有以下三个命题角度：(1)求展开式中的某一项；(2)求展开式中的项的系数或二项式系数；(3)由已知条件求n的值或参数的值．二项展开式中的特定项或特定项的系数[典例引领]角度一求展开式中的某一项x3－2x4＋x＋1x8的展开式中的常数项为()A．32B．34C．36D．38【解析】x3－2x4的展开式的通项为Tk＋1＝Ck4(x3)4－k·－2xk＝Ck4(－2)kx12－4k，令12－4k＝0，解得k＝3，x＋1x8的展开式的通项为Tr＋1＝Cr8·x8－r·1xr＝Cr8·x8－2r，令8－2r＝0，得r＝4，所以所求常数项为C34(－2)3＋C48＝38.【答案】D角度二求展开式中的项的系数或二项式系数(2017·高考全国卷Ⅰ)1＋1x2(1＋x)6展开式中x2的系数为()A．15B．20C．30D．35【解析】(1＋x)6展开式的通项Tr＋1＝Cr6xr，所以1＋1x2(1＋x)6的展开式中x2的系数为1×C26＋1×C46＝30，故选C.【答案】C角度三由已知条件求n的值或参数的值(2016·高考山东卷)若(ax2＋1x)5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________．【解析】(ax2＋1x)5的展开式的通项Tr＋1＝Cr5(ax2)5－r·x－r2＝Cr5a5－r·x10－5r2，令10－52r＝5，得r＝2，所以C25a3＝－80，解得a＝－2.【答案】－2与二项展开式有关问题的解题策略(1)求展开式中的第n项，可依据二项式的通项直接求出第n项．(2)求展开式中的特定项，可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可．(3)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数．[通关练习]1．若x6＋1xxn的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值等于()A．3B．4C．5D．6解析：选C.Tr＋1＝Crn(x6)n－r1xxr＝Crnx6n－152r，当Tr＋1是常数项时，6n－152r＝0，即n＝54r，又n∈N*，故n的最小值为5，故选C.2．(x2－x＋1)10的展开式中x3项的系数为()A．－210B．210C．30D．－30解析：选A.(x2－x＋1)10＝[x2－(x－1)]10＝C010(x2)10－C110(x2)9(x－1)＋…－C910x2(x－1)9＋C1010(x－1)10，所以含x3项的系数为：－C910C89＋C1010(－C710)＝－210.3．(2019·贵州省适应性考试)(x＋1)(x＋a)4的展开式中含x4项的系数为9，则实数a的值为________．答案：2解析：(x＋1)(x＋a)4＝x(x＋a)4＋(x＋a)4，对于x(x＋a)4，T2＝x×C14x3a，对于(x＋a)4，T0＝C04x4a0，所以4a＋1＝9，解得a＝2.[典例引领](1)在二项式x2－1x11的展开式中，系数最大的项为第________项．(2)(2018·安徽省“江南十校”联考)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．二项式系数的性质或各项系数和【解析】(1)依题意可知Tr＋1＝Cr11(－1)rx22－3r，0≤r≤11，r∈Z，二项式系数最大的是C511与C611.当r＝6时，T7＝C611x4，故系数最大的项是第七项．(2)令x＝0，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，所以有(2＋m)9m9＝39，即m2＋2m＝3，解得m＝1或－3.【答案】(1)七(2)1或－3本例(2)变为：若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．解析：令x＝2，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(4＋m)9，令x＝0，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝(m＋2)9，所以有(4＋m)9(m＋2)9＝39，即m2＋6m＋5＝0，解得m＝－1或－5.答案：－1或－5赋值法的应用(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋f（－1）2，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f（1）－f（－1）2.(2019·郑州市第一次质量测试)在x＋3xn的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为()A．50B．70C．90D．120解析：选C.令x＝1，则x＋3xn＝4n，所以x＋3xn的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以4n2n＝2n＝32，解得n＝5.二项展开式的通项Tr＋1＝Cr5x5－r3xr＝Cr53rx5－32r，令5－32r＝2，得r＝2，所以x2的系数为C2532＝90，故选C.[典例引领]设a∈Z，且0≤a＜13，若512018＋a能被13整除，则a＝()A．0B．1C．11D．12二项式定理的应用【解析】512018＋a＝(52－1)2018＋a＝C02018522018－C12018522017＋…＋C20172018×52×(－1)2017＋C20182018×(－1)2018＋a.因为52能被13整除，所以只需C20182018×(－1)2018＋a能被13整除，即a＋1能被13整除，所以a＝12.【答案】D(1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．(2)求余数问题时，应明确被除式f(x)与除式g(x)(g(x)≠0)，商式q(x)与余式的关系及余式的范围．求证：3n(n＋2)·2n－1(n∈N*，n2)．证明：因为n∈N*，且n2，所以3n＝(2＋1)n展开后至少有4项．(2＋1)n＝2n＋C1n·2n－1＋…＋Cn－1n·2＋1≥2n＋n·2n－1＋2n＋12n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1，故3n(n＋2)·2n－1(n∈N*，n2)．二项展开式中系数最大项的求法如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用Ak≥Ak－1，Ak≥Ak＋1，从而解出k来，即得．易错防范(1)通项Tk＋1＝Cknan－kbk是展开式的第k＋1项，不是第k项．(2)(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒．(3)易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指Ckn(k＝0，1，…，n)．