2020版高考数学大一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第2讲 排列与组合课件 理

第2讲排列与组合第十章计数原理、概率、随机变量及其分布1．排列、组合的定义排列的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合的定义合成一组2.排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有____________的个数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有____________的个数公式Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！（n－m）！Cmn＝AmnAmm＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）m！性质Ann＝____，0！＝___Cmn＝Cn－mn，Cmn＋Cm－1n＝Cmn＋1不同排列不同组合n！1判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．()(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．()(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．()(4)若组合式Cxn＝Cmn，则x＝m成立．()(5)Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是()A．6B．8C．12D．16解析：选C.由于lga－lgb＝lgab，从3，5，7，11中取出两个不同的数分别赋值给a和b共有A24＝12种，所以得到不同的值有12个．(2017·高考全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种解析：选D.因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2，1，1，有C24C12C11A22＝6种，再分配给3个人，有A33＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有________种．解析：由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有C26C15＝75(种)．答案：75有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表，若某女生必须担任语文课代表，则不同的选法共有________种(用数字作答)．解析：由题意知，从剩余7人中选出4人担任其余4个学科的课代表，共有A47＝840(种)．答案：840[典例引领]3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起．排列应用题【解】(1)从7个元素中选出5个全排列，有A57＝2520种排法．(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A77＝5040种排法．(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A33种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法，由分步乘法计数原理知，共有N＝A33·A44·A22＝288(种)．(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A44种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有A35种排法，故N＝A44·A35＝1440(种)．在本例条件下，求不同的排队方案的方法种数：(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端．解：(1)先排甲有4种，其余有A66种，故共有4·A66＝2880种排法．(2)先排甲、乙，再排其余5人，共有A22·A55＝240种排法．求解有限制条件排列问题的主要方法直接法分类法选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数分步法选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数捆绑法相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中间接法对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法[提醒](1)插空时要数清插空的个数，捆绑时要注意捆绑后元素的个数及相邻元素的排列数．(2)用间接法求解时，事件的反面数情况要准确．[通关练习]1．3本不同的数学书与3本不同的语文书放在书架同一层，则同类书不相邻的放法种数为()A．36B．72C．108D．144解析：选B.3本数学书的放法有A33种，将3本语文书插入使得语文数学均不相邻的插法有2A33种，故同类书不相邻的放法有2A33A33＝2×6×6＝72(种)，故选B.2．(2019·兰州市高考实战模拟)某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有()A．A1818种B．A2020种C．A23A318A1010种D．A22A1818种解析：选D.中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人站前排并与中国领导人相邻，有A22种站法；其他18国领导人可以任意站，因此有A1818种站法．根据分步计数原理，共有A22A1818种站法．故选D.[典例引领]要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)男生甲和女生乙入选；(3)男生甲、女生乙至少有一个人入选．组合应用题【解】(1)法一：至少有1名女生入选包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，5女．由分类加法计数原理知总选法数为C15C47＋C25C37＋C35C27＋C45C17＋C55＝771(种)．法二：“至少有1名女生入选”的反面是“全是男代表”，可用间接法求解．从12人中任选5人有C512种选法，其中全是男代表的选法有C57种．所以“至少有1名女生入选”的选法有C512－C57＝771(种)．(2)男生甲和女生乙入选，即只要再从除男生甲和女生乙外的10人中任选3名即可，共有C310＝120种选法．(3)间接法：“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面是“两人都不入选”，即从其余10人中任选5人有C510种选法，所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法数为C512－C510＝540(种)．在本例条件下，求至多有2名女生入选的选法种数．解：至多有2名女生入选包括以下几种情况：0女5男，1女4男，2女3男，由分类加法计数原理知总选法数为C57＋C15C47＋C25C37＝546(种)．两类有附加条件的组合问题的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，求：(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？解：(1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C24C12C12＝24(种)．(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C24C24，又甲、乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C24种，因此满足条件的不同选法种数为C24C24－C24＝30(种)．排列与组合是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题多为中档题．高考对此问题的考查主要有以下三个命题角度：(1)相邻、相间问题；(2)分组、分配问题；(3)特殊元素(位置)问题．排列、组合的综合应用(高频考点)[典例引领]角度一相邻、相间问题(2019·福建漳州八校联考)有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有()A．34种B．48种C．96种D．144种【解析】特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有C12种选法，乙、丙相邻，捆绑在一起看作一个元素，与其余三个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有C12A44A22＝96种，故选C.【答案】C角度二分组、分配问题(2019·福州市质量检测)福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有()A．90种B．180种C．270种D．360种【解析】可分两步：第一步，甲、乙两个展区各安排一个人，有A26种不同的安排方案；第二步，剩下两个展区各两个人，有C24C22种不同的安排方案，根据分步乘法计数原理，不同的安排方案的种数为A26C24C22＝180.故选B.【答案】B角度三特殊元素(位置)问题从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有________个．【解析】分三类：第一类，没有2，3，由其他三个数字组成三位数，有A33＝6个；第二类，只有2或3，需从1，4，5中选两个数字，可组成2C23A33＝36个；第三类，2，3均有，再从1，4，5中选一个，因为2需排在3的前面，所以可组成12C13A33＝9个．故这样的三位数共有51个．【答案】51解排列、组合综合应用问题的思路[通关练习]1．高三某班课外演讲小组有4名男生，3名女生，从中选拔出3名男生，2名女生，然后让这5人在班内逐个进行演讲，则2位女生不连续演讲的方法种数有()A．864B．432C．288D．144解析：选A.选3男2女的选法有C34C23＝12种方法，5人在班内逐个进行演讲且两位女生不连续演讲，有A33A24＝72，所以共有12×72＝864种．2．某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为()A．A26C24B．12A26C24C．A26A24D．2A26解析：选B.法一：将4人平均分成两组有12C24种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有A26(种)．所以不同的安排方法有12C24A26(种)．法二：先从6个班级中选2个班级有C26种不同方法，然后安排学生有C24C22种，故有C26C24C22＝12A26C24(种)．3．(2017·高考天津卷)用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)解析：一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有C14C35A44＝960个，四个数字都是奇数的四位数有A45＝120个，则至多有一个数字是偶数的四位数一共有960＋120＝1080(个)．答案：1080对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件．易错防范(1)区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关．(2)解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．