2020版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 第1讲 变化率与导数、导数的计算课件 理 新人教

知识点考纲下载导数概念及其几何意义、导数的运算了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.能根据导数定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.第三章导数及其应用知识点考纲下载导数在研究函数中的应用了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).会利用导数解决某些实际问题.第三章导数及其应用知识点考纲下载定积分与微积分基本定理了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.了解微积分基本定理的含义.第三章导数及其应用第1讲变化率与导数、导数的计算第三章导数及其应用1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的________________(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为_____________________．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝___________________________为f(x)的导函数．切线的斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝________f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝________f(x)＝sinxf′(x)＝________f(x)＝cosxf′(x)＝________f(x)＝ax(a0且a≠1)f′(x)＝________f(x)＝exf′(x)＝_____f(x)＝logax(x0，a0且a≠1)f′(x)＝________f(x)＝lnx(x0)f′(x)＝________0nxn－1cosx－sinxaxlnaex1xlna1x3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝________________；(2)[f(x)·g(x)]′＝_____________________；(3)f（x）g（x）′＝______________________________(g(x)≠0)．4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝___________，即y对x的导数等于__________的导数与________的导数的乘积．f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)f′（x）g（x）－f（x）g′（x）[g（x）]2yu′·ux′y对uu对x判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．()(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．()(5)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×(教材习题改编)函数y＝xcosx－sinx的导数为()A．xsinxB．－xsinxC．xcosxD．－xcosx解析：选B.y′＝x′cosx＋x(cosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.(2019·开封市第一次模拟)已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋mx＋n相切于点A(1，3)，则n＝()A．－2B．1C．3D．4解析：选C.对于y＝x3＋mx＋n，y′＝3x2＋m，所以k＝3＋m，又k＋1＝3，1＋m＋n＝3，可解得n＝3.已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3，则a的值为________．解析：因为f′(x)＝a(l＋lnx)，所以f′(1)＝a＝3.答案：3(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为________．解析：因为y＝2ln(x＋1)，所以y′＝2x＋1.当x＝0时，y′＝2，所以曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x.答案：y＝2x[典例引领]求下列函数的导数：(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；(2)y＝sinx2(1－2cos2x4)；(3)y＝3xex－2x＋e；(4)y＝lnxx2＋1；(5)y＝ln2x－12x＋1.导数的计算【解】(1)因为y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，所以y′＝18x2－10x－4.(2)因为y＝sinx2(－cosx2)＝－12sinx，所以y′＝(－12sinx)′＝－12(sinx)′＝－12cosx.(3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xexln3＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.(4)y′＝（lnx）′（x2＋1）－lnx（x2＋1）′（x2＋1）2＝1x（x2＋1）－2xlnx（x2＋1）2＝x2＋1－2x2lnxx（x2＋1）2.(5)y′＝(ln2x－12x＋1)′＝[ln(2x－1)－ln(2x＋1)]′＝[ln(2x－1)]′－[ln(2x＋1)]′＝12x－1·(2x－1)′－12x＋1·(2x＋1)′＝22x－1－22x＋1＝44x2－1.[通关练习]1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝()A．2B．4C．6D．8解析：选C.f′(x)＝6x＋2f′(2)，令x＝2，得f′(2)＝－12.再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝30－24＝6.2．求下列函数的导数：(1)y＝xnex；(2)y＝cosxsinx；(3)y＝exlnx；(4)y＝(1＋sinx)2.解：(1)y′＝nxn－1ex＋xnex＝xn－1ex(n＋x)．(2)y′＝－sin2x－cos2xsin2x＝－1sin2x.(3)y′＝exlnx＋ex·1x＝ex1x＋lnx.(4)y′＝2(1＋sinx)·(1＋sinx)′＝2(1＋sinx)·cosx.导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小．高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度：(1)求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标；(3)已知切线方程求参数值．导数的几何意义(高频考点)[典例引领]角度一求切线方程(1)(2017·高考天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．(2)曲线f(x)＝x3－2x2＋2(12≤x≤52)，过点P(2，0)的切线方程为________．【解析】(1)因为f′(x)＝a－1x，所以f′(1)＝a－1，又f(1)＝a，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0，得y＝1，即直线l在y轴上的截距为1.(2)因为f(2)＝23－2×22＋2＝2≠0，所以点P(2，0)不在曲线f(x)＝x3－2x2＋2上．设切点坐标为(x0，y0)，则12≤x0≤52.且y0＝x30－2x20＋2，0－y02－x0＝f′（x0），所以y0＝x30－2x20＋2，－y02－x0＝3x20－4x0，消去y，整理得(x0－1)(x20－3x0＋1)＝0，解得x0＝1或x0＝3＋52(舍去)或x0＝3－52(舍去)，所以y0＝1，f′(x0)＝－1，所以所求的切线方程为y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2.【答案】(1)1(2)y＝－x＋2角度二已知切线方程(或斜率)求切点坐标若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．【解析】设切点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝lnx＋1，所以切线的斜率为k＝lnx0＋1，由题意知k＝2，得x0＝e，代入曲线方程得y0＝e.故点P的坐标是(e，e)．【答案】(e，e)若本例变为：若曲线y＝xlnx上点P处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，则该切线的方程为________．解析：设切点为(x0，y0)，因为y′＝lnx＋1，由题意，得lnx0＋1＝1，所以lnx0＝0，x0＝1，即点P(1，0)，所以切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.答案：x－y－1＝0角度三已知切线方程求参数值(2016·高考全国卷Ⅱ)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________．【解析】求得(lnx＋2)′＝1x，[ln(x＋1)]′＝1x＋1.设曲线y＝lnx＋2上的切点为(x1，y1)，曲线y＝ln(x＋1)上的切点为(x2，y2)，则k＝1x1＝1x2＋1，所以x2＋1＝x1.又y1＝lnx1＋2，y2＝ln(x2＋1)＝lnx1，所以k＝y1－y2x1－x2＝2，所以x1＝1k＝12，y1＝ln12＋2＝2－ln2，所以b＝y1－kx1＝2－ln2－1＝1－ln2.【答案】1－ln2(1)求曲线切线方程的步骤①求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；②由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．(2)求曲线f(x)，g(x)的公切线l的方程的步骤①设点求切线，即分别设出两曲线的切点的坐标(x0，f(x0))，(x1，g(x1))，并分别求出两曲线的切线方程；②建立方程组，即利用两曲线的切线重合，则两切线的斜率及在y轴上的截距都分别相等，得到关于参数x0，x1的方程组，解方程组，求出参数x0，x1的值；③求切线方程，把所求参数的值代入曲线的切线方程中即可．(3)求曲线的切线方程需注意三点①当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴(此时导数不存在)时，切线方程为x＝x0；②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解；③应正确区分“求在曲线点P处的切线方程”和“求过曲线点P处的切线方程”．[通关练习]1．(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为()A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x解析：选D.法一：因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇数，所以f(－x)＝－f(x)，所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.法二：因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方