2020版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 1 第1讲 导数的概念及运算课件 文 新人教A版

知识点考纲下载导数概念及其几何意义，导数的运算了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.第三章导数及其应用知识点考纲下载导数在研究函数中的应用了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).会利用导数解决某些实际问题.第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算第三章导数及其应用1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率________________________＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝___________________．limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）ΔxlimΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx[提醒]f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的_____________(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为___________________．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝_______________________为f(x)的导函数．切线的斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝_____f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝_____f(x)＝sinxf′(x)＝_____f(x)＝cosxf′(x)＝_____f(x)＝ax(a0且a≠1)f′(x)＝_____f(x)＝exf′(x)＝_____f(x)＝logax(x0，a0且a≠1)f′(x)＝_____f(x)＝lnx(x0)f′(x)＝_____0nxn－1cosx－sinxaxlnaex1xlna1x3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝______________．(2)[f(x)·g(x)]′＝____________________．(3)f（x）g（x）′＝_________________________(g(x)≠0)．f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)f′（x）g（x）－f（x）g′（x）[g（x）]2[提醒]求导常见易错点：①公式(xn)′＝nxn－1与(ax)′＝axlna相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：f（x）g（x）′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）[g（x）]2，(cosx)′＝sinx.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．()(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．()(5)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×(教材习题改编)函数y＝xcosx－sinx的导数为()A．xsinxB．－xsinxC．xcosxD．－xcosx解析：选B.y′＝x′cosx＋x(cosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于()A．193B．163C．133D．103解析：选D.因为f′(x)＝3ax2＋6x，所以f′(－1)＝3a－6＝4，解得a＝103.故选D.(2018·高考天津卷)已知函数f(x)＝exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为____________．解析：由题意得f′(x)＝exlnx＋ex·1x，则f′(1)＝e.答案：e(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y＝2lnx在点(1，0)处的切线方程为________．解析：由题意知，y′＝2x，所以曲线在点(1，0)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝2，故所求切线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.答案：y＝2x－2导数的运算(师生共研)求下列函数的导数：(1)y＝x2sinx；(2)y＝lnx＋1x.【解】(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝lnx＋1x′＝(lnx)′＋1x′＝1x－1x2.[注意]求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝()A．2B．4C．6D．8解析：选C.由已知得，f′(x)＝6x＋2f′(2)，令x＝2，得f′(2)＝－12.再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝30－24＝6.2．求下列函数的导数：(1)y＝xnex；(2)y＝cosxsinx.解：(1)y′＝nxn－1ex＋xnex＝xn－1ex(n＋x)．(2)y′＝－sin2x－cos2xsin2x＝－1sin2x.导数的几何意义(多维探究)角度一求切线方程(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为()A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x【解析】法一：因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.法二：因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.【答案】D求曲线切线方程的步骤(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率．(2)由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．[注意]“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．角度二求切点坐标若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．【解析】设切点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝lnx＋1，所以切线的斜率为k＝lnx0＋1，由题意知k＝2，得x0＝e，代入曲线方程得y0＝e.故点P的坐标是(e，e)．【答案】(e，e)[迁移探究](变条件)若本例变为：若曲线y＝xlnx上点P处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，则该切线的方程为________．解析：设切点为(x0，y0)，因为y′＝lnx＋1，由题意，得lnx0＋1＝1，所以lnx0＝0，x0＝1，即点P(1，0)，所以切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.答案：x－y－1＝0求切点的坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．角度三已知切线方程(或斜率)求参数值(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则()A．a＝e，b＝－1B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1D．a＝e－1，b＝－1【解析】因为y′＝aex＋lnx＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，与切线方程y＝2x＋b对照，可得ae＋1＝2，b＝－1，解得a＝e－1，b＝－1.故选D.【答案】D处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．1．(2019·高考全国卷Ⅱ)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为()A．x－y－π－1＝0B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0D．x＋y－π＋1＝0解析：选C.依题意得y′＝2cosx－sinx，y′|x＝π＝(2cosx－sinx)|x＝π＝2cosπ－sinπ＝－2，因此所求的切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0，故选C.2．(2019·河北石家庄一中模拟)已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则k的值是()A．eB．－eC．1eD．－1e解析：选A.设切点的坐标为(x0，y0)，对于y＝ex，y′＝ex，所以ex0＝k，y0＝kx0，y0＝ex0，所以kx0＝ex0＝k，易知x0≠0，k＞0，所以x0＝1，所以k＝e.3．(2019·西安八校联考)曲线y＝2lnx在点(e2，4)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为____________．解析：因为y′＝2x，所以曲线y＝2lnx在点(e2，4)处的切线斜率为2e2，所以切线方程为y－4＝2e2(x－e2)，即2xe2－y＋2＝0.令x＝0，则y＝2；令y＝0，则x＝－e2，所以切线与坐标轴所围成的三角形的面积S＝12×e2×2＝e2.答案：e2数学运算——求曲线的切线方程数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．已知曲线y＝13x3上一点P2，83，则过点P的切线方程为____________．【解析】(1)当P为切点时，由y′＝13x3′＝x2，得y′|x＝2＝4，即过点P的切线方程的斜率为4.则所求的切线方程是y－83＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0.(2)当P点不是切点时，设切点为Q(x0，y0)，则切线方程为y－13x30＝x20(x－x0)，因为切线过点P2，83，把P点的坐标代入以上切线方程，求得x0＝－1或x0＝2(即点P，舍去)，所以切点为Q－1，－13，即所求切线方程为3x－3y＋2＝0.综上所述，过点P的切线方程为12x－3y－16＝0或3x－3y＋2＝0.【答案】12x－3y－16＝0或3x－3y＋2＝0求曲线的切线问题时，要明晰所运算的对象(切线)涉及的点是“在”还是“过”，然后利用求切线方程的方法进行求解．(1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率．(2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，故应先设切点，求切点坐标．(2019·江西八所重点中学联考)已知曲线y＝1x＋lnxa在x＝1处的切线l与直线2