2020版高考数学大一轮复习 第七章 不等式 第3讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题课件

第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题第七章不等式1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式(组)表示区域Ax＋By＋C0(0)直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0(≤0)包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的________________公共部分2.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的___________________，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的____________________构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．有序数对(x，y)有序数对(x，y)3．线性规划的有关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的________________目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝x＋2y线性目标函数关于x，y的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有____________组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题不等式(组)可行解判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax＋By＋C0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．()(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．()(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．()(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．()(5)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×(教材习题改编)不等式x－2y＋6＜0表示的区域在直线x－2y＋6＝0的()A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方解析：选C.画出x－2y＋6＜0的图象如图所示，可知该区域在直线x－2y＋6＝0的左上方．故选C.(2017·高考天津卷)设变量x，y满足约束条件2x＋y≥0，x＋2y－2≥0，x≤0，y≤3，则目标函数z＝x＋y的最大值为()A.23B．1C.32D．3解析：选D.作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z＝x＋y得y＝－x＋z，作出直线y＝－x，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在B(0，3)处取得，故zmax＝0＋3＝3，选项D符合．.不等式组2x＋y－6≤0，x＋y－3≥0，y≤2表示的平面区域的面积为________．解析：不等式组2x＋y－6≤0，x＋y－3≥0，y≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即所求．求出点A，B，C的坐标分别为A(1，2)，B(2，2)，C(3，0)，则△ABC的面积为S＝12×(2－1)×2＝1.答案：1(2017·高考全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件x＋2y≤1，2x＋y≥－1，x－y≤0，则z＝3x－2y的最小值为________．解析：画出不等式组x＋2y≤1，2x＋y≥－1，x－y≤0所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y＝32x－z2过点A时，在y轴上的截距最大，此时z最小，由x＋2y＝1，2x＋y＝－1，解得x＝－1，y＝1.所以zmin＝－5.答案：－5[典例引领](1)不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域的面积等于()A.32B.23C.43D.34二元一次不等式(组)表示的平面区域(2)若平面区域x＋y－3≥0，2x－y－3≤0，x－2y＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是()A.355B.2C.322D.5【解析】(1)不等式组所表示平面区域如图所示．解x＋3y＝4，3x＋y＝4得A(1，1)，易得B(0，4)，C0，43，|BC|＝4－43＝83.故S△ABC＝12×83×1＝43.(2)画出平面区域表示的可行域如图阴影部分所示．易求得A(1，2)，B(2，1)．因为kAB＝－1，所以|AB|即为所求的最小距离，|AB|＝（1－2）2＋（2－1）2＝2.【答案】(1)C(2)B若本例(1)中平面区域为D，且直线y＝a(x＋1)与D有公共点，求实数a的取值范围．解：由例题(1)解析知，不等式组表示的可行域如图，因为直线y＝a(x＋1)恒过定点C(－1，0)，由图并结合题意易知kAC＝12，kBC＝4，所以要使直线y＝a(x＋1)与平面区域D有公共点，则12≤a≤4.二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式(组)．若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域；(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．[通关练习]1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是()解析：选C.(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0，即x－2y＋1≥0，x＋y－3≤0或x－2y＋1≤0，x＋y－3≥0，与选项C符合．故选C.2．若不等式组x－y＋5≥0，y≥a，0≤x≤2表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()A．a5B．a≥7C．5≤a7D．a5或a≥7解析：选C.如图，当直线y＝a位于直线y＝5和y＝7之间(不含y＝7)时满足条件，故选C.线性目标函数的最值(范围)问题是每年高考的热点，题型多为选择题和填空题，难度为中档题．高考对线性目标函数最值(范围)问题的考查有以下三个命题角度：(1)求线性目标函数的最值(范围)；(2)已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)；(3)求非线性目标函数的最值(范围)．求线性目标函数的最值(范围)(高频考点)[典例引领]角度一求线性目标函数的最值(范围)(2018·高考全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件x－2y－2≤0x－y＋1≥0y≤0，则z＝3x＋2y的最大值为________．【解析】作出可行域为如图所示的△ABC所表示的阴影区域，作出直线3x＋2y＝0，并平移该直线，当直线过点A(2，0)时，目标函数z＝3x＋2y取得最大值，且zmax＝3×2＋2×0＝6.【答案】6角度二已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)(2019·惠州市第三次调研考试)已知x，y满足约束条件x－y≥0x＋y≤2y≥0，若z＝ax＋y的最大值为4，则a等于()A．3B．2C．－2D．－3【解析】不等式组x－y≥0x＋y≤2y≥0表示的平面区域如图阴影部分所示．易知A(2，0)，由x－y＝0x＋y＝2，得B(1，1)．由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z，所以当a＝－2或a＝－3时，z＝ax＋y在点O(0，0)处取得最大值，最大值为zmax＝0，不满足题意，排除C，D；当a＝2或a＝3时，z＝ax＋y在点A(2，0)处取得最大值，所以2a＝4，所以a＝2，故选B.【答案】B角度三求非线性目标函数的最值(范围)(2019·洛阳市尖子生第一次联考)已知x，y满足条件x≥0，y≥x，3x＋4y≤12，则x＋2y＋3x＋1的最大值是____________．【解析】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，x＋2y＋3x＋1＝1＋2×y＋1x＋1，y＋1x＋1表示可行域中的点(x，y)与点P(－1，－1)连线的斜率．由图可知，PB的斜率最大，即当x＝0，y＝3时，x＋2y＋3x＋1取得最大值，且x＋2y＋3x＋1max＝9.【答案】9线性规划两类问题的解决方法(1)求不含参数的目标函数的最值：画出可行域后，要根据目标函数的几何意义求解，常见的目标函数有：①截距型：形如z＝ax＋by；②距离型：形如z＝（x－a）2＋（y－b）2；③斜率型：形如z＝y－bx－a.(2)含参数的线性规划问题：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中，求解步骤为：①注意对参数取值的讨论、将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里，寻求最优解．[提醒]求目标函数的最值时，易弄错目标函数的几何意义而求错．如x2＋y2是距离的平方，易忽视平方而求错．[通关练习]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件3x＋2y－6≤0x≥0y≥0，则z＝x－y的取值范围是()A．[－3，0]B．[－3，2]C．[0，2]D．[0，3]解析：选B.不等式组3x＋2y－6≤0，x≥0，y≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线l0：y＝x，平移直线l0，当直线z＝x－y过点A(2，0)时，z取得最大值2，当直线z＝x－y过点B(0，3)时，z取得最小值－3，所以z＝x－y的取值范围是[－3，2]，故选B.2．(2019·惠州市第三次调研考试)已知实数x，y满足：x＋3y＋5≥0x＋y－1≤0，x＋a≥0若z＝x＋2y的最小值为－4，则实数a＝()A．1B．2C．4D．8解析：选B.作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z＝x＋2y经过点C－a，a－53时，z取得最小值－4，所以－a＋2·a－53＝－4，解得a＝2.3．(2019·太原市模拟试题)已知实数x，y满足条件3x＋y＋3≥02x－y＋2≤0，x＋2y－4≤0则z＝x2＋y2的取值范围为()A．[1，13]B．[1，4]C.45，13D.45，4解析：选C.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z＝x2＋y2的最小值为点O到直线BC：2x－y＋2＝0的距离的平方，zmin＝45，最大值为点O与点A(－2，3)的距离的平方，zmax＝|OA|2＝13.[典例引领](2016·高考全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．线性规划的实际应用【解析】由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润z＝2100x＋900y，线性约束条件为1.5x＋0.5y≤150，x＋0.3y≤90，5x＋3y≤600，x≥0，y≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x∈N，y∈N，可知取得最大值时的最优解为(60，100)，所以zmax＝2100×60＋900×100＝216000(元)．【答案】216000利用线性规划解决实际问题的五步曲某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元解析：选C.设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z＝1600x＋2400y，则约束条件为36x＋60y≥900，x＋y≤21，y－x≤7，x，y∈N，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5，12)时，有最小值zmin＝36800(元)．利用线性规划求目标函数最值的步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l；(2)平移——将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置，有时需要进行直线l和可行域边界的斜率的大小比较；(3)求值——解有关方程组