2020版高考数学大一轮复习 第六章 数列 第3讲 等比数列及其前n项和课件 理 新人教A版

第3讲等比数列及其前n项和第六章数列1．等比数列的有关概念(1)定义如果一个数列从第_____项起，每一项与它的前一项的比等于____________(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的_________，通常用字母q表示，定义的表达式为_______________________．2同一常数公比an＋1an＝q(q≠0，n∈N*)(2)等比中项如果a、G、b成等比数列，那么_________叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔_________．“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件．2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝_________．(2)前n项和公式：Sn＝_______，q＝1，a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q，q≠1.GG2＝aba1qn－1na13．等比数列的性质已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，k∈N*)(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝_________＝_________；(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．4．等比数列的单调性当q1，a10或0q1，a10时，{an}是递增数列；当q1，a10或0q1，a10时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列．ap·aqa2r5．等比数列与指数函数的关系当q≠1时，an＝a1q·qn，可以看成函数y＝cqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.()(3)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．()(4)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．()(5)等比数列中不存在数值为0的项．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(教材习题改编)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q＝()A．－12B．－2C．2D.12解析：选D.由通项公式及已知得a1q＝2①，a1q4＝14②，由②÷①得q3＝18，解得q＝12.故选D.已知数列{an}满足an＝12an＋1，若a3＋a4＝2，则a4＋a5＝()A.12B．1C．4D．8解析：选C.法一：因为an＝12an＋1得an＋1an＝2，所以{an}为等比数列，其公比为2，又a3＋a4＝2得a1＝16，则a4＋a5＝a1q3＋a1q4＝4.法二：已知an＝12an＋1，可得an＋1＝2an，所以a4＋a5＝2a3＋2a4＝2(a3＋a4)＝2×2＝4.设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为________．解析：设等比数列{an}的公比为q(q0)，由a5＝a1q4＝16，a1＝1，得16＝q4，解得q＝2，所以S7＝a1（1－q7）1－q＝1×（1－27）1－2＝127.答案：127(2017·高考北京卷)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则a2b2＝________．解析：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则a4＝－1＋3d＝8，解得d＝3；b4＝－1·q3＝8，解得q＝－2.所以a2＝－1＋3＝2，b2＝－1×(－2)＝2，所以a2b2＝1.答案：1等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度为中、低档题．高考对等比数列的基本运算的考查常有以下三个命题角度：(1)求首项a1、公比q或项数n；(2)求通项或特定项；(3)求前n项和．等比数列的基本运算(高频考点)[典例引领]角度一求首项a1、公比q或项数n(2019·武汉市武昌区调研考试)设公比为q(q0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1＝()A．－2B．－1C.12D.23【解析】由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1(舍)或q＝32，将q＝32代入S2＝3a2＋2中得a1＋32a1＝3×32a1＋2，解得a1＝－1.【答案】B角度二求通项或特定项(方程思想)(2019·合肥模拟)设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3，3a2，a3＋4构成等差数列，则an＝________．【解析】由已知得：a1＋a2＋a3＝7，（a1＋3）＋（a3＋4）2＝3a2.解得a2＝2.设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝2q，a3＝2q.又S3＝7，可知2q＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0，解得q1＝2，q2＝12.由题意得q1，所以q＝2，所以a1＝1.故数列{an}的通项公式为an＝2n－1.【答案】2n－1角度三求前n项和(2016·高考全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝13，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.(1)求{an}的通项公式；(2)求{bn}的前n项和．【解】(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝13，得a1＝2.所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1.(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝bn3，因此数列{bn}是首项为1，公比为13的等比数列．记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝1－13n1－13＝32－12×3n－1.解决等比数列有关问题的三种常见思想方法(1)方程思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．(2)分类讨论思想：因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，所以当某一参数为公比进行求和时，就要对参数是否为1进行分类讨论．(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn或a11－q当成整体进行求解．[通关练习]1．设等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝4，Sk＝63，则k＝()A．4B．5C．6D．7解析：选C.设等比数列{an}的公比为q，由已知a1＝1，a3＝4，得q2＝a3a1＝4.又{an}的各项均为正数，所以q＝2.而Sk＝1－2k1－2＝63，所以2k－1＝63，解得k＝6.2．(2017·高考江苏卷)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝74，S6＝634，则a8＝________．解析：设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3得q≠1，则S3＝a1（1－q3）1－q＝74，S6＝a1（1－q6）1－q＝634，解得q＝2，a1＝14，则a8＝a1q7＝14×27＝32.答案：323．(2017·高考全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；(2)若T3＝21，求S3.解：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.由a2＋b2＝2得d＋q＝3.①(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②联立①和②解得d＝3，q＝0(舍去)，d＝1，q＝2.因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0，解得q＝－5，q＝4.当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.[典例引领](2018·高考全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝ann.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{an}的通项公式．等比数列的判定与证明【解】(1)由条件可得an＋1＝2（n＋1）nan.将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4.将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得an＋1n＋1＝2ann，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得ann＝2n－1，所以an＝n·2n－1.等比数列的判定方法(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列．(2)中项公式法：若数列{an}中an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列．[提醒](1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．[通关练习]1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n－1＋16，则a的值为()A．－13B.13C．－12D.12解析：选A.法一：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a·2n－1－a·2n－2＝a·2n－2，当n＝1时，a1＝S1＝a＋16，所以a＋16＝a2，所以a＝－13.法二：因为等比数列的前n项和Sn＝k×qn－k，则12a＝－16，a＝－13.2．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，设bn＝an＋1－2an.(1)求证：{bn}是等比数列；(2)设cn＝an3n－1，求证：{cn}是等比数列．证明：(1)an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an.bn＋1bn＝an＋2－2an＋1an＋1－2an＝（4an＋1－4an）－2an＋1an＋1－2an＝2an＋1－4anan＋1－2an＝2.因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.所以b1＝a2－2a1＝3.所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．(2)由(1)知bn＝3·2n－1＝an＋1－2an，所以an＋12n－1－an2n－2＝3.所以数列an2n－2是等差数列，公差为3，首项为2.所以an2n－2＝2＋(n－1)×3＝3n－1.所以an＝(3n－1)·2n－2，所以cn＝2n－2.所以cn＋1cn＝2n－12n－2＝2.所以数列{cn}为等比数列．等比数列的性质是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，其难度为中等．高考对等比数列的性质的考查常有以下两个命题角度：(1)等比数列项的性质的应用；(2)等比数列前n项和的性质的应用．等比数列的性质(高频考点)[典例引领]角度一等比数列项的性质的应用(1)在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2－6x＋8＝0的根，则a1a17a9的值为()A．22B．4C．－22或22D．－4或4(2)(2019·武汉华师附中调研)数列{an}的通项公式为an＝2n－1，则使不等式a21＋a22＋…＋a2n5×2n＋1成立的n的最大值为()A．2B．3C．4D．5【解析】(1)因为a3，a15是方程x2－6x＋8＝0的根，所以a3a15＝8，a3＋a15＝6，易知a3，a15均为正，由等比数列的性质知，a1a17＝a29＝a3a15＝8，所以a9＝22，a1a17a9＝22，故选A.(2)因为an＝2n－1，