2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第6讲 双曲线课件 理 新人教A版

第6讲双曲线第九章平面解析几何1．双曲线的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为双曲线_________为双曲线的焦点_________为双曲线的焦距||MF1|－|MF2||＝2a2a|F1F2|F1、F2|F1F2|2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：_________，对称中心：_______顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝____，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2＝_________(c＞a＞0，c＞b＞0)坐标轴原点caa2＋b23.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．(2)等轴双曲线⇔离心率e＝2⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．4．双曲线中一些常用的结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|max＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为b2a2.(5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝b2·1tanθ2，其中θ为∠F1PF2.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)椭圆的离心率e∈(0，1)，双曲线的离心率e∈(1，＋∞)．()(3)方程x2m－y2n＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(2017·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为()A.x28－y210＝1B.x24－y25＝1C.x25－y24＝1D.x24－y23＝1解析：选B.根据双曲线C的渐近线方程为y＝52x，可知ba＝52①，又椭圆x212＋y23＝1的焦点坐标为(3，0)和(－3，0)，所以a2＋b2＝9②，根据①②可知a2＝4，b2＝5，所以选B.(教材习题改编)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为53，则其渐近线方程为________．解析：法一：由题意，得e＝ca＝1＋ba2＝53，解得ba＝43，所以双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±43x，即4x±3y＝0.法二：由题意，得e＝ca＝53，即c＝53a，所以b2＝c2－a2＝169a2，所以ba＝43，所以双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±43x，即4x±3y＝0.答案：4x±3y＝0(2016·高考北京卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(5，0)，则a＝________；b＝________．解析：由题意知，渐近线方程为y＝－2x，由双曲线的标准方程以及性质可知ba＝2，由c＝5，c2＝a2＋b2，可得b＝2，a＝1.答案：12[典例引领](1)设双曲线x2－y28＝1的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上的一点，且|PF1|∶|PF2|＝3∶4，则△PF1F2的面积等于()A．103B．83C．85D．165(2)(2019·孝感质检)△ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．双曲线的定义【解析】(1)依题意|F1F2|＝6，|PF2|－|PF1|＝2，因为|PF1|∶|PF2|＝3∶4，所以|PF1|＝6，|PF2|＝8，所以等腰三角形PF1F2的面积S＝12×8×62－822＝85.(2)如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.|AG|＝|AE|＝8，|BF|＝|BG|＝2，|CE|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x29－y216＝1(x3)．【答案】(1)C(2)x29－y216＝1(x3)若本例(1)中“|PF1|∶|PF2|＝3∶4”变为“PF1⊥PF2”，其他条件不变，如何求解．解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m2＋n2＝36，m2＋n2－2mn＝4，解得mn＝16，所以S△PF1F2＝12mn＝8.双曲线定义的应用规律类型解读求方程由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a，2b或2c的值，从而求出a2，b2的值，写出双曲线方程解焦点三角形利用双曲线上点M与两焦点的距离的差||MF1|－MF2||＝2a(其中2a|F1F2|)与正弦定理、余弦定理，解决焦点三角形问题[提醒]在双曲线的定义中一是不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是双曲线的一支；二是“常数”小于|F1F2|，否则轨迹是线段或不存在．[通关练习]1．已知双曲线x2－y224＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝43|PF2|，则△F1PF2的面积为()A．48B．24C．12D．6解析：选B.由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝13|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，故三角形PF1F2为直角三角形，因此S△PF1F2＝12|PF1|×|PF2|＝24.2．(2019·湖北武汉调研)若双曲线x24－y212＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1，4)，则|PF|＋|PA|的最小值是()A．8B．9C．10D．12解析：选B.由题意知，双曲线x24－y212＝1的左焦点F的坐标为(－4，0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4，0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋（4－1）2＋（0－4）2＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．所以|PF|＋|PA|的最小值为9.[典例引领](1)(2017·高考天津卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x23－y2＝1D．x2－y23＝1(2)若双曲线的渐近线方程为y＝±12x，且经过点(4，3)，则双曲线的方程为________．双曲线的标准方程【解析】(1)由△OAF是边长为2的等边三角形可知，c＝2，ba＝tan60°＝3，又c2＝a2＋b2，联立可得a＝1，b＝3，所以双曲线的方程为x2－y23＝1.(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±12x，所以可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(4，3)，所以λ＝16－4×(3)2＝4，所以双曲线的标准方程为x24－y2＝1.法二：因为渐近线y＝12x过点(4，2)，而32，所以点(4，3)在渐近线y＝12x的下方，在y＝－12x的上方(如图)．所以双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．由已知条件可得ba＝12，16a2－3b2＝1，解得a2＝4，b2＝1，所以双曲线的标准方程为x24－y2＝1.【答案】(1)D(2)x24－y2＝1(1)求双曲线标准方程的答题模板(2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法①与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；②若双曲线的渐近线方程为y＝±bax，则双曲线的方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；③若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为x2m＋y2n＝1(mn0)或mx2＋ny2＝1(mn0)．[通关练习]1．(2019·山西省八校第一次联考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦距为45，渐近线方程为2x±y＝0，则双曲线的方程为()A.x24－y216＝1B.x216－y24＝1C.x216－y264＝1D.x264－y216＝1解析：选A.易知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y＝0，得ba＝2，因为双曲线的焦距为45，所以c＝25.结合c2＝a2＋b2，可得a＝2，b＝4，所以双曲线的方程为x24－y216＝1，故选A.2．与椭圆x24＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线方程是()A.x24－y2＝1B.x22－y2＝1C.x23－y23＝1D．x2－y22＝1解析：选B.法一：椭圆x24＋y2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，所以4a2－1b2＝1，a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线方程是x22－y2＝1.法二：设所求双曲线方程为x24－λ＋y21－λ＝1(1λ4)，将点P(2，1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线方程为x22－y2＝1.双曲线的几何性质及应用，是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题．高考对双曲线的几何性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长；(2)求双曲线的渐近线方程；(3)求双曲线的离心率(或范围)．双曲线的几何性质(高频考点)[典例引领]角度一求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长(2019·福建龙岩模拟)已知离心率为52的双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是()A．32B．16C．84D．4【解析】由题意知F2(c，0)，不妨令点M在渐近线y＝bax上，由题意可知|F2M|＝bca2＋b2＝b，所以|OM|＝c2－b2＝a.由S△OMF2＝16，可得12ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，ca＝52，所以a＝8，b＝4，c＝45，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.【答案】B角度二求双曲线的渐近线方程过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点F作圆O：x2＋y2＝a2的两条切线，切点为A，B，双曲线左顶点为C，若∠ACB＝120°，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±3xB．y＝±33xC．y＝±2xD．y＝±22x【解析】如图所示，连接OA，OB，设双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦距为2c(c0)，则C(－a，0)，F(－c，0)．由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，则∠ACO＝∠BCO＝12∠ACB＝12×120°＝60°.因为|OA|＝|OC|＝a，所以△ACO为等边三角形，所以∠AOC＝60°.因为FA与圆O切于点A，所以OA⊥FA，在Rt△AOF中，∠AFO＝90°－∠AOF＝90°－60°＝30°，所以|OF|＝2|OA|，即c＝2a，所以b＝c2－a2＝（2a）2－a2＝3a，故双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±bax，即y＝±3x.【答案】A角度三求双曲线的离心率(或范围)(1)