2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 7 第6讲 双曲线课件 文 新人教A版

第6讲双曲线第九章平面解析几何1．双曲线的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为双曲线________为双曲线的焦点________为双曲线的焦距||MF1|－|MF2||＝2a2a|F1F2|F1、F2|F1F2|2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：________，对称中心：________顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx坐标轴原点标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)性质离心率e＝____，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2＝________(c＞a＞0，c＞b＞0)caa2＋b2常用知识拓展1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|max＝a＋c，|PF2|min＝c－a.3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.4．设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为b2a2.5．等轴双曲线的标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．其离心率为2，两条渐近线的方程为y＝±x.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)椭圆的离心率e∈(0，1)，双曲线的离心率e∈(1，＋∞)．()(3)方程x2m－y2n＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的实轴长为4，离心率为5，则双曲线的标准方程为()A.x24－y216＝1B．x2－y24＝1C.x22－y23＝1D．x2－y26＝1解析：选A.因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的实轴长为4，所以a＝2，由离心率为5，可得ca＝5，c＝25，所以b＝c2－a2＝20－4＝4，则双曲线的标准方程为x24－y216＝1.(2018·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，则点(4，0)到C的渐近线的距离为()A.2B．2C.322D．22解析：选D.法一：由离心率e＝ca＝2，得c＝2a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为41＋1＝22.故选D.法二：离心率e＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，由点到直线的距离公式得点(4，0)到C的渐近线的距离为41＋1＝22.故选D.经过点A(5，－3)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．解析：设双曲线的方程为x2－y2＝λ，把点A(5，－3)代入，得λ＝16，故所求方程为x216－y216＝1.答案：x216－y216＝1若方程x22＋m－y2m＋1＝1表示双曲线，则m的取值范围是________．解析：因为方程x22＋m－y2m＋1＝1表示双曲线，所以(2＋m)(m＋1)0，即m－1或m－2.答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞)设双曲线x2－y28＝1的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上的一点，且|PF1|∶|PF2|＝3∶4，则△PF1F2的面积等于()A．103B．83C．85D．165双曲线的定义(典例迁移)【解析】依题意|F1F2|＝6，|PF2|－|PF1|＝2，因为|PF1|∶|PF2|＝3∶4，所以|PF1|＝6，|PF2|＝8，所以等腰三角形PF1F2的面积S＝12×8×62－822＝85.【答案】C[迁移探究](变条件)若本例中“|PF1|∶|PF2|＝3∶4”变为“PF1⊥PF2”，其他条件不变，如何求解．解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m2＋n2＝36，m2＋n2－2mn＝4，解得mn＝16，所以S△PF1F2＝12mn＝8.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．1．设F1，F2分别是双曲线x2－y29＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且|PF1|＝6，则|PF2|＝()A．6B．4C．8D．4或8解析：选D.由双曲线的标准方程可得：a＝1，则||PF1|－|PF2||＝2a＝2，即|6－|PF2||＝2，解得|PF2|＝4或8.2．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左，右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________．解析：由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝22，所以|PF1|＝2|PF2|＝42，则cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝（42）2＋（22）2－422×42×22＝34.答案：34(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A．x2－y28＝1B.x28－y2＝1C．x2－y28＝1(x≤－1)D．x2－y28＝1(x≥1)双曲线的标准方程(师生共研)(2)(一题多解)若双曲线的渐近线方程为y＝±12x，且经过点(4，3)，则双曲线的方程为________．【解析】(1)设圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝26，所以点M的轨迹是以点C1(－3，0)和C2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，a＝1，c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以点M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±12x，所以可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(4，3)，所以λ＝16－4×(3)2＝4，所以双曲线的标准方程为x24－y2＝1.法二：因为渐近线y＝12x过点(4，2)，而32，所以点(4，3)在渐近线y＝12x的下方，在y＝－12x的上方(如图)．所以双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．由已知条件可得ba＝12，16a2－3b2＝1，解得a2＝4，b2＝1，所以双曲线的标准方程为x24－y2＝1.【答案】(1)C(2)x24－y2＝1求双曲线标准方程的方法(1)定义法根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有：①c2＝a2＋b2；②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.(2)待定系数法①一般步骤②常用设法(i)与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；(ii)若双曲线的渐近线方程为y＝±bax，则双曲线的方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；(iii)若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为x2m＋y2n＝1(mn0)或mx2＋ny2＝1(mn0)．1．双曲线C的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为()A.x220－y24＝1B.x220－y216＝1C.y220－x216＝1D.y220－x24＝1解析：选B.2a＝（－5＋6）2＋22－（－5－6）2＋22＝45.所以a＝25，又c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.所以双曲线的标准方程为x220－y216＝1.故选B.2．(2019·广东六校第一次联考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点为F，离心率为2，若经过F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()A．x2－y2＝1B.x22－y22＝1C.x24－y24＝1D.x28－y28＝1解析：选D.由题意，得双曲线的左焦点为F(－c，0)．由离心率e＝ca＝2，得c＝2a，c2＝2a2＝a2＋b2，即a＝b，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，则经过F和P(0，4)两点的直线的斜率k＝4c＝1，得c＝4，所以a＝b＝22，所以双曲线的方程为x28－y28＝1，故选D.角度一双曲线的渐近线问题(2018·高考全国卷Ⅱ)双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为3，则其渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±3xC．y＝±22xD．y＝±32x双曲线的几何性质(多维探究)【解析】因为双曲线的离心率为3，所以ca＝3，即c＝3a.又c2＝a2＋b2，所以(3a)2＝a2＋b2，化简得2a2＝b2，所以ba＝2.因为双曲线的渐近线方程为y＝±bax，所以y＝±2x.故选A.【答案】A角度二双曲线的离心率问题(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为()A．2sin40°B．2cos40°C.1sin50°D.1cos50°(2)(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝6|OP|，则C的离心率为()A.5B．2C.3D.2【解析】(1)依题意知，－ba＝tan130°＝tan(130°－180°)＝－tan50°，两边平方得c2－a2a2＝tan250°＝e2－1，e2＝1＋tan250°＝1cos250°，又e1，所以e＝1cos50°，选D.(2)法一：不妨设一条渐近线的方程为y＝bax，则F2到y＝bax的距离d＝|bc|a2＋b2＝b，在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝6a，又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，根据余弦定理得cos∠POF1＝a2＋c2－（6a）22ac＝－cos∠POF2＝－ac，即3a2＋c2－(6a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝ca＝3.法二：如图，过点F1向OP的反向延长线作垂线，垂足为P′，连接P′F2，由题意可知，四边形PF1P′F2为平行四边形，且△PP′F2是直角三角形．因为|F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a.又|PF1|＝6a＝|F2P′|，|PP′|＝2a，所以|F2P|＝2a＝b，所以c＝a2＋b2＝3a，所以e＝ca＝3.故选C.【答案】(1)D(2)C角度三与双曲线有关的范围问题已知M(x0，y0)是双曲线C：x22－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若MF1→·MF2→＜0，则y0的取值范围是()A.－33，33B.－36，36C.－223，223D.－233，233【解析】由题意知a＝2，b＝1，c＝3，所以F1(－3，0)，F2(3，0)，所以MF1→＝(－3－x0，－y0)，MF2→＝(3－x0，