2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第5讲 指数与指数函数课件 理 新人教

第5讲指数与指数函数第二章函数概念与基本初等函数1．根式(1)根式的概念①若___________，则x叫做a的n次方根，其中n1且n∈N*.式子______叫做根式，这里___叫做根指数，____叫做被开方数．②a的n次方根的表示：xn＝a⇒x＝na，当n为奇数且n∈N*，n1时，x＝_________，当n为偶数且n∈N*时.xn＝anana±na2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂：amn＝___________(a0，m，n∈N*，且n1)．②负分数指数幂：a－mn＝___________＝___________(a0，m，n∈N*，且n1)．(2)根式的性质①(na)n＝a(n∈N*，且n1)．②nan＝a，n为奇数，____＝a，a≥0，－a，a0，n为偶数.1amnnam1nam|a|③0的正分数指数幂等于_____，0的负分数指数幂___________．(2)有理数指数幂的运算性质①aras＝_____(a0，r，s∈Q)．②(ar)s＝_____(a0，r，s∈Q)．③(ab)r＝_____(a0，b0，r∈Q)．0无意义ar＋sarsarbr3．指数函数的图象及性质函数y＝ax(a0，且a≠1)图象0a1a1图象特征在x轴_______，过定点________当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升上方(0，1)性质定义域_____值域___________单调性__________函数值变化规律当x＝0时，________当x0时，________；当x0时，________当x0时，________；当x0时，________R(0，＋∞)减增y＝1y10y10y1y1判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)4（π－4）4＝π－4.()(2)nan与(na)n都等于a(n∈N*)．()(3)(－1)24＝(－1)12＝－1.()(4)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．()(5)若aman，则mn.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×(教材习题改编)有下列四个式子：①3（－8）3＝－8；②（－10）2＝－10；③4（3－π）4＝3－π；④2018（a－b）2018＝a－b.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选A.①正确，（－10）2＝|－10|＝10，②错误；4（3－π）4＝|3－π|＝－(3－π)＝π－3，③错误，2018（a－b）2018＝|a－b|＝a－b，当a≥b时b－a，当ab时，故选A.(2019·东北三校联考)函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是()A．y＝1－xB．y＝|x－2|C．y＝2x－1D．y＝log2(2x)解析：选A.由f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的图象恒过点(1，1)，又0＝1－1，知(1，1)不在y＝1－x的图象上．函数f(x)＝1－ex的值域为________．解析：由1－ex≥0，ex≤1，故函数f(x)的定义域为{x|x≤0}．所以0ex≤1，－1≤－ex0，0≤1－ex1，函数f(x)的值域为[0，1)．答案：[0，1)(教材习题改编)若指数函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知0a2－11，即1a22，得－2a－1或1a2.答案：(－2，－1)∪(1，2)[典例引领]化简下列各式：(1)0.027－13－17－2＋27912－(2－1)0；(2).指数幂的化简与求值【解】(1)原式＝271000－13－72＋25912－1＝103－49＋53－1＝－45.[提醒]运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．[通关练习]1．化简416x8y4(x0，y0)得()A．2x2yB．2xyC．4x2yD．－2x2y解析：选D.因为x0，y0，所以416x8y4＝(16x8·y4)14＝(16)14·(x8)14·(y4)14＝2x2|y|＝－2x2y.2．化简下列各式：解：(1)原式＝0.32＋1252713－259＝9100＋53－53＝9100.[典例引领](1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a1，b0B．a1，b0C．0a1，b0D．0a1，b0(2)若方程|3x－1|＝k有一解，则k的取值范围为________．指数函数的图象及应用【解析】(1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b0.(2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解．【答案】(1)D(2){0}∪[1，＋∞)1.若本例(2)条件变为：方程3|x|－1＝k有两解，则k的取值范围为________．解析：作出函数y＝3|x|－1与y＝k的图象如图所示，数形结合可得k0.答案：(0，＋∞)2.若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋k的图象不经过第二象限，则实数k的取值范围是________．解析：作出函数y＝|3x－1|＋k的图象如图所示．由图象知k≤－1，即k∈(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]3.若将本例(2)变为函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围如何？解：由本例(2)作出的函数y＝|3x－1|的图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k∈(－∞，0]．指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，－1，1a.(2)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．[通关练习]1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是()解析：选A.将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．2．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．解析：(1)当0a1时，y＝|ax－1|的图象如图①.因为y＝2a与y＝|ax－1|的图象有两个交点，所以02a1.所以0a12.(2)当a1时，y＝|ax－1|的图象如图②，而y＝2a1不可能与y＝|ax－1|有两个交点．综上，0a12.答案：0，12指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现．高考对指数函数的性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)比较指数幂的大小；(2)解简单的指数方程或不等式；(3)研究指数型函数的性质．指数函数的性质及应用(高频考点)[典例引领]角度一比较指数幂的大小已知a＝1223，b＝2－34，c＝1213，则下列关系式中正确的是()A．cabB．bacC．acbD．abc【解析】把b化简为b＝1243，而函数y＝12x在R上为减函数，432313，所以124312231213，即bac.【答案】B角度二解简单的指数方程或不等式设函数f(x)＝12x－7，x0，x，x≥0，若f(a)1，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3)B．(1，＋∞)C．(－3，1)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)【解析】当a0时，不等式f(a)1可化为12a－71，即12a8，即12a12－3，因为0121，所以a－3，此时－3a0；当a≥0时，不等式f(a)1可化为a1，即0≤a1.故a的取值范围是(－3，1)，故选C.【答案】C角度三研究指数型函数的性质已知函数f(x)＝13ax2－4x＋3.(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．【解】(1)当a＝－1时，f(x)＝13－x2－4x＋3，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝13t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝13g（x），由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，因此必有a＞0，3a－4a＝－1，解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.(3)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝13g（x），由指数函数的性质知，要使y＝13g（x）的值域为(0，＋∞)．应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，因此只能a＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)故f(x)的值域为(0，＋∞)时，a的值为0.有关指数型函数性质的常考题型及求解策略题型求解策略比较幂值的大小(1)能化成同底数的先化成底数幂再利用单调性比较大小.(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小解简单指数不等式先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致[通关练习]1．(2019·贵阳市摸底考试)已知函数f(x)＝a－2ex＋1(a∈R)是奇函数，则函数f(x)的值域为()A．(－1，1)B．(－2，2)C．(－3，3)D．(－4，4)解析：选A.由f(x)是奇函数知f(－x)＝－f(x)，所以a－2e－x＋1＝－a＋2ex＋1，得2a＝2ex＋1＋2e－x＋1，所以a＝1ex＋1＋exex＋1＝1，所以f(x)＝1－2ex＋1.因为ex＋1＞1，所以0＜1ex＋1＜1，－1＜1－2ex＋1＜1，所以函数f(x)的值域为(－1，1)．故选A.2．(2019·河南南阳、信阳等六市模拟)已知a、b∈(0，1)∪(1，＋∞)，当x0时，1bxax，则()A．0ba1B．0ab1C．1baD．1ab解析：选C.因为x0时，1bx，所以b1.因为x0时，bxax，所以x0时，abx1.所以ab1，所以ab.所以1ba，故选C.3．已知函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，则m的取值范围为________．解析：设t＝3x，则y＝9x＋m·3x－3＝t2＋mt－3.因为x∈[－2，2]，所以t∈19，9.又函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，即y＝t2＋mt－3在区间19，9上单调递减，故有－m2≥9，解得m≤－18.所以m的取值范围为(－∞，－18]．答案：(－∞，－18]nan与(na)n的区别(1)nan是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．(2)(na)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定．指数函数的图象与性质(1)利用性质判断