2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 11 第11讲 函数模型及其应用课件

第11讲函数模型及其应用第二章函数概念与基本初等函数1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)2.三种函数模型性质比较y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的单调性______________________________增长速度____________________相对平稳图象的变化随x值增大，图象与______接近平行随x值增大，图象与______接近平行随n值变化而不同增函数增函数增函数越来越快越来越慢y轴x轴常用知识拓展“对勾”函数f(x)＝x＋ax(a0)的性质(1)该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．(2)当x0时，x＝a时取最小值2a；当x0时，x＝－a时取最大值－2a.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)幂函数增长比一次函数增长更快．()(2)在(0，＋∞)内，随着x的增大，y＝ax(a1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α0)的增长速度．()(3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．()答案：(1)×(2)√(3)√下列函数中，随x的增大，y的增长速度最快的是()A．y＝1100exB．y＝100lnxC．y＝x100D．y＝100·2x答案：A生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为()A．36万件B．18万件C．22万件D．9万件解析：选B.设利润为L(x)，则利润L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100km，票价是0.5元/km，如果超过100km，超过100km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是________．解析：由题意可得y＝0.5x，0x≤100，0.4x＋10，x100.答案：y＝0.5x，0x≤100，0.4x＋10，x100(教材习题改编)某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元．销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．解析：依题意得alog48＋b＝1alog464＋b＝4，即32a＋b＝1，3a＋b＝4.解得a＝2，b＝－2.所以y＝2log4x－2，当y＝8时，即2log4x－2＝8.解得x＝1024.答案：1024用函数图象刻画变化过程(师生共研)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油【解析】根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．【答案】D判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是()解析：选D.依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4x≤8时，f(x)＝8；当8x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知D项符合要求．二次函数、分段函数、“对勾”函数模型(师生共研)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝13x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋100x－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【解】(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，依题意得，当0x8时，L(x)＝5x－13x2＋x－3＝－13x2＋4x－3；当x≥8时，L(x)＝5x－6x＋100x－38－3＝35－x＋100x.所以L(x)＝－13x2＋4x－3，0x8，35－x＋100x，x≥8.(2)当0x8时，L(x)＝－13(x－6)2＋9.此时，当x＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9万元．当x≥8时，L(x)＝35－x＋100x≤35－2x·100x＝35－20＝15，当且仅当x＝100x时等号成立，即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．因为915，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．解决实际应用问题的四大步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：[提醒](1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．(2)利用模型f(x)＝ax＋bx求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．1．某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为(30－52R)万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是()A．[4，8]B．[6，10]C．[4%，8%]D．[6%，10%]解析：选A.根据题意，要使附加税不少于128万元，需30－52R×160×R%≥128，整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8]．2.据气象中心观察和预测：发生于沿海M地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t，0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为时间t(h)内台风所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场台风是否会侵袭到N城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知，直线OA的方程是v＝3t，直线BC的方程是v＝－2t＋70.当t＝4时，v＝12，所以s＝12×4×12＝24.(2)当0≤t≤10时，s＝12×t×3t＝32t2；当10t≤20时，s＝12×10×30＋(t－10)×30＝30t－150；当20t≤35时，s＝150＋300＋12×(t－20)×(－2t＋70＋30)＝－t2＋70t－550.综上可知，s随t变化的规律是s＝32t2，t∈[0，10]，30t－150，t∈（10，20]，－t2＋70t－550，t∈（20，35].(3)当t∈[0，10]时，smax＝32×102＝150650，当t∈(10，20]时，smax＝30×20－150＝450650，当t∈(20，35]时，令－t2＋70t－550＝650，解得t＝30或t＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N城．指数、对数函数模型(师生共研)(1)某公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2017年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是()(参考数据：lg1.1＝0.041，lg2＝0.301)A．2023年B．2024年C．2025年D．2026年(2)里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．【解析】(1)设从2017年后，第x年该公司全年投入的研发资金为y万元，则y＝300×(1＋10%)x，依题意得，300×(1＋10%)x600，即1.1x2，两边取对数可得xlg2lg1.1＝0.3010.041≈7.3，则x≥8，即该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是2025年．故选C.(2)M＝lg1000－lg0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，则9＝lgA1－lgA0＝lgA1A0，则A1A0＝109，5＝lgA2－lgA0＝lgA2A0，则A2A0＝105，所以A1A2＝104.即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍．【答案】(1)C(2)610000指数型、对数型函数模型(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．(2)有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值回答其实际意义．候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋blog3Q10(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a，b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog33010＝0，即a＋b＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s，故a＋blog39010＝1，整理得a＋2b＝1.解方程组a＋b＝0，a＋2b＝1，得a＝－1，b＝1.(2)由(1)知，v＝a＋blog3Q10＝－1＋log3Q10.所以要使飞行速度不低于2m/s，则有v≥2，所以－1＋log3Q10≥2，即log3Q10≥3，解得Q10≥27