2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 6 第6讲 二次函数与幂函数课件 文

第6讲二次函数与幂函数第二章函数概念与基本初等函数1．幂函数(1)定义：形如____________________的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1.y＝xα(α∈R)(2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝____________________；②顶点式：f(x)＝____________________；③零点式：f(x)＝____________________．ax2＋bx＋c(a≠0)a(x－m)2＋n(a≠0)a(x－x1)(x－x2)(a≠0)(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)图象解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a单调性在－∞，－b2a上单调递减；在_______________上单调递增在_______________上单调递增；在－b2a，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x＝－b2a对称－b2a，＋∞－∞，－b2a常用知识拓展1．二次函数图象对称轴的判断方法(1)对于二次函数y＝f(x)定义域内的任意x1，x2，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图象关于x＝x1＋x22对称．(2)对于二次函数y＝f(x)定义域内的所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．2．巧记幂函数的图象五个幂函数在第一象限内的图象的大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横”，即α0(α≠1)时的图象是抛物线型(α1时的图象是竖直抛物线型，0α1时的图象是横卧抛物线型)，α0时的图象是双曲线型．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x13是幂函数．()(2)当n0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是4ac－b24a.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×若幂函数f(x)＝xk在(0，＋∞)上是减函数，则k可能是()A．1B．2C．12D．－1解析：选D.由幂函数f(x)＝xk在(0，＋∞)上是减函数及A，B，C，D选项知D符合．故选D.已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是()A.0，120B.－∞，－120C.120，＋∞D.－120，0解析：选C.由题意知a＞0，Δ0，即a＞0，1－20a0，得a＞120.(教材习题改编)幂函数y＝f(x)经过点(2，2)，则f(9)＝________．解析：设f(x)＝xα，由题意得2＝2α，所以α＝12.所以f(x)＝x12，所以f(9)＝912＝3.答案：3(教材习题改编)函数g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])的值域是________．解析：由g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，得g(x)在[0，1]上是减函数，在[1，3]上是增函数．所以g(x)min＝g(1)＝－1，而g(0)＝0，g(3)＝3.所以g(x)的值域为[－1，3]．答案：[－1，3]幂函数的图象及性质(典例迁移)(1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是()(2)已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，则m的所有可能取值为()A．1B．0，2C．－1，1，3D．0，1，2【解析】(1)设幂函数的解析式为y＝xα，因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，所以2＝4α，解得α＝12，所以y＝x，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0x1时，其图象在直线y＝x的上方．故选C.(2)因为幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，所以m2－2m－3≤0且m2－2m－3(m∈Z)为偶数．由m2－2m－3≤0得－1≤m≤3，又m∈Z，所以m＝－1，0，1，2，3，当m＝－1时，m2－2m－3＝1＋2－3＝0为偶数，符合题意；当m＝0时，m2－2m－3＝－3为奇数，不符合题意；当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4为偶数，符合题意；当m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3为奇数，不符合题意；当m＝3时，m2－2m－3＝9－6－3＝0为偶数，符合题意．综上所述，m＝－1，1，3，故选C.【答案】(1)C(2)C[迁移探究1](变条件)若本例(2)中，将函数“f(x)＝xm2－2m－3”变为“f(x)＝(m2＋2m－2)xm2－3m”，其他条件不变，则m的值为____________．解析：由于f(x)为幂函数，所以m2＋2m－2＝1，解得m＝1或m＝－3，经检验只有m＝1适合题意，所以m＝1.答案：1[迁移探究2](变条件)本例(2)中f(x)不变，m∈N*.若函数的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则m的值为______．解析：因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以m2－2m－30，解得－1m3.又m∈N*，所以m＝1或m＝2.由于f(x)的图象关于y轴对称．所以m2－2m－3为偶数，又当m＝2时，m2－2m－3为奇数，所以m＝2舍去，因此m＝1.答案：1幂函数的图象与性质问题的解题策略(1)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等．(2)关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较或应用．(3)在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解．1．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，33)，则f(x)是()A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析：选C.设幂函数f(x)＝xα，代入点(3，33)，得：33＝3α，解得α＝13，所以f(x)＝x13，可知函数为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增．2．已知幂函数f(x)满足f(8)＝4，则f22________f－33(填“＞”、“＝”或“”)．解析：设f(x)＝xα(α为常数)，又f(8)＝4，所以4＝8α，所以α＝23.于是f(x)＝x23，显然该函数是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数．所以f－33＝f33f22.答案：＞求二次函数的解析式(师生共研)(一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解】法一(利用一般式)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解得a＝－4，b＝4，c＝7.所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二(利用顶点式)：设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为f(2)＝f(－1)，f(－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为x＝2＋（－1）2＝12.所以m＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝ax－122＋8.因为f(2)＝－1，所以a2－122＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.法三(利用零点式)：由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即4a（－2a－1）－a24a＝8.解得a＝－4或a＝0(舍去)，所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：1．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象过点P(－1，11)，且其对称轴是直线x＝1，则a＋b的值是()A．－2B．0C．1D．2解析：选A.因为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象的对称轴是直线x＝1，所以－b2a＝1①.又f(－1)＝a－b＋5＝11，所以a－b＝6②.联立①②，解得a＝2，b＝－4，所以a＋b＝－2，故选A.2．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为(－32，49)，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是_______．解析：设f(x)＝a(x＋32)2＋49(a≠0)，方程a(x＋32)2＋49＝0的两个根分别为x1，x2，则|x1－x2|＝（x1＋x2）2－4x1x2＝（－3）2－9a＋196a＝14－a＝7，所以a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40.答案：f(x)＝－4x2－12x＋40二次函数的图象与性质(多维探究)角度一二次函数图象的识别问题如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b24ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5ab.其中正确的结论是()A．②④B．①④C．②③D．①③【解析】因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac0，即b24ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y0，即a－b＋c0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a0，所以5a2a，即5ab，④正确．故选B.【答案】B确定二次函数图象应关注的三个要点一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向．二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置．三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点或最低点等．从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．角度二二次函数的最值问题(分类讨论思想)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a的值．【解】f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.(1)当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝38；(3)当a0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.综上可知，a的值为38或－3.二次函数最值的求法二次函数的区间最值问题一般有三种情况：①对称轴和区间都是给定的；②对称轴动，区间固定；③对称轴定，区间变动．解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”进行数形结合，三点指的是区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求解．对于②、③，通常要分对称轴在区间内、区间外两大类情况进行讨论．角度三一元二次不等式恒成立问题(1)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_________．(2)已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)x＋k在区间[