2020版高考数学大二轮复习 专题一 平面向量、三角函数与解三角形 第一讲 平面向量课件 理

专题一平面向量、三角函数与解三角形第一讲平面向量考点二考点三考点一目录ONTENTSC4限时规范训练[考情分析·明确方向]1．平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题(选择题或填空题)，一般出现在第3～7题或第13～15题的位置上，难度较低．主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是其考查的热点．2．有时也会以平面向量为载体，与三角函数、解析几何等其他知识交汇综合命题，难度中等．1．三点共线的判定(1)A，B，C三点共线⇔AB→，AC→共线．(2)向量PA→，PB→，PC→中三终点A，B，C共线⇔存在实数α，β使得PA→＝αPB→＋βPC→，且α＋β＝1.2．三角形“四心”向量形式的充要条件设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则(1)O为△ABC的外心⇔|OA→|＝|OB→|＝|OC→|＝a2sinA.(2)O为△ABC的重心⇔OA→＋OB→＋OC→＝0.(3)O为△ABC的垂心⇔OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→.(4)O为△ABC的内心⇔aOA→＋bOB→＋cOC→＝0.1．(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→＝()A.34AB→－14AC→B.14AB→－34AC→C.34AB→＋14AC→D.14AB→＋34AC→解析：作出示意图如图所示．EB→＝ED→＋DB→＝12AD→＋12CB→＝12×12(AB→＋AC→)＋12(AB→－AC→)＝34AB→－14AC→.故选A.答案：A2．(2019·汕尾一模)设D为△ABC所在平面内一点，BC→＝3CD→，若AD→＝λAB→＋μAC→，则λ－μ＝()A．－53B．－43C．43D．53解析：由BC→＝3CD→，可知，B、C、D三点在同一直线上，图形如下：根据题意及图形，可得：AD→＝AC→＋CD→＝AC→＋13BC→＝AC→＋13(AC→－AB→)＝－13AB→＋43AC→∴λ－μ＝－13－43＝－53.故选A.答案：A3．(2019·河北衡水中学模拟)已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足OP→＝OB→＋OC→2＋λAB→|AB→|cosB＋AC→|AC→|cosC，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹经过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：设BC的中点为D，∵OP→＝OB→＋OC→2＋λAB→|AB→|cosB＋AC→|AC→|cosC，∴OP→＝OD→＋λAB→|AB→|cosB＋AC→|AC→|cosC，即DP→＝λAB→|AB→|cosB＋AC→|AC→|cosC，∴DP→·BC→＝λAB→·BC→|AB→|cosB＋AC→·BC→|AC→|cosC＝λ|AB→|·|BC→|cosπ－B|AB→|cosB＋|AC→|·|BC→|cosC|AC→|cosC＝λ(－|BC→|＋|BC→|)＝0，∴DP⊥BC，∴点P在BC的垂直平分线上，即点P经过△ABC的外心．答案：A4．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.解析：2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝12.答案：12[类题通法]1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量归结到相关的三角形中，利用三角形法则列出三个向量之间的关系．2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一组基底，并运用该组基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每组基底下的分解都是唯一的．1．平面向量的数量积运算的两种形式(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数字化．2．夹角公式cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.3．模|a|＝a2＝x2＋y2.4．向量a与b垂直⇔a·b＝0.(一)常规考法1．△ABC的外心为O，AB＝3，AC＝4，则AO→·BC→等于()A.32B.52C．3D.72解析：取AB，AC的中点E，F，则AO→·BC→＝AO→·(AC→－AB→)＝AO→·AC→－AO→·AB→＝2AO→·AF→－2AO→·AE→＝2|AO→||AF→|cos∠OAF－2|AO→||AE→|cos∠OAE＝2|AO→||AF→||AF→||AO→|－2|AO→||AE→||AE→||AO→|＝2|AF→|2－2|AE→|2＝2×22－2×322＝72，故选D.答案：D2．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝1，|b|＝2，则|3a＋b|＝()A.5B.17C.19D.21解析：∵向量a，b的夹角为60°，|a|＝1，|b|＝2，∴a·b＝1×2×12＝1，则|3a＋b|＝3a＋b2＝9a2＋b2＋6a·b＝9×1＋4＋6×1＝19，故选C.答案：C3．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：由(a－b)⊥b，可得(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2.∵|a|＝2|b|，∴cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝b22b2＝12.∵0≤〈a，b〉≤π，∴a与b的夹角为π3.故选B.答案：B4．(2019·恩施州模拟)已知向量a＝(1，3)，b＝－12，32，则a＋b在b上的投影为()A．2B.3C．1D．－1解析：∵a＝(1，3)，b＝－12，32，则a＋b在b上的投影a＋b·b|b|＝a·b＋b2|b|＝－12＋32＋11＝2，选A.答案：A[类题通法]快审题1.看到向量垂直，想到其数量积为零．2．看到向量的模与夹角，想到向量数量积的有关性质和公式避误区两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线(二)创新考法1．已知向量a与b的夹角为θ，定义a×b为a与b的“向量积”，且a×b是一个向量，它的长度|a×b|＝|a||b|sinθ，若u＝(2,0)，u－v＝(1，－3)，则|u×(u＋v)|等于()A．43B.3C．6D．23解析：由题意v＝u－(u－v)＝(1，3)，则u＋v＝(3，3)，cos〈u，u＋v〉＝32，得sin〈u，u＋v〉＝12，由定义知|u×(u＋v)|＝|u|·|u＋v|sin〈u，u＋v〉＝2×23×12＝23.故选D.答案：D2．(2019·浙江宁波期末测试)已知向量OA→，OB→，满足|OA→|＝1，|OB→|＝2，∠AOB＝π3，M为△OAB内一点(包括边界)，OM→＝xOA→＋yOB→.若OM→·BA→≤－1，则以下结论一定成立的是()A.23≤2x＋y≤2B.12x≤yC．－1≤x－3yD.23≤x＋y≤1解析：以O为原点，以OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，设A(1,0)，B(1，3)，则有OM→＝(x＋y，3y)，BA→＝(0，－3)，∴OM→·BA→＝－3y≤－1，∴y≥13.又∵点M在△OAB内，∴x，y满足的关系式为x≥0，y≥13，x＋y≤1.取x＝0，y＝13，不满足23≤2x＋y≤2，23≤x＋y≤1，排除A，D选项．取x＝0，y＝1，不满足－1≤x－3y，排除C选项．∵y≥13，x＋y≤1，∴x≤23，∴y≥13≥x2，B正确．故选B.答案：B3．(2019·重庆巴蜀中学月考)已知向量a＝(－2，m)，b＝3，12m，m∈R，则“a⊥(a＋2b)”是“m＝2”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件解析：由已知得a＋2b＝(4,2m)，a⊥(a＋2b)等价于－2×4＋m·2m＝0，∴m＝±2.先考虑充分性，m＝±2成立不能推出m＝2成立，所以“a⊥(a＋2b)”不是“m＝2”的充分条件．再考虑必要性，m＝2成立可以推出m＝±2成立，所以“a⊥(a＋2b)”是“m＝2”的必要条件．所以“a⊥(a＋2b)”是“m＝2”的必要不充分条件．故选B.答案：B[类题通法]1.平面向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、不等式等知识交汇命题，平面向量的“位置”为：一是作为解决问题的工具，二是通过运算作为命题条件．2．高考以新定义的形式考查向量的概念、线性运算、数量积运算的频率较大，其形式体现了“新”．解决此类问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，通过转化思想解决，这是破解新定义信息题的关键所在．破解平面向量与“解析几何”相交汇问题的常用方法有两种：一是“转化法”，即把平面向量问题转化为解析几何问题，利用平面向量的数量积、共线、垂直等的坐标表示进行转化，再利用解析几何的相关知识给予破解；二是“特值法”，若是选择题，常可用取特殊值的方法来快速破解．(2018·高考天津卷)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则AE→·BE→的最小值为()A.2116B.32C.2516D．3解析：由题意知，△BCD为等边三角形，边长为3，建立如图所示的平面直角坐标系，则A0，－12，B32，0，D－32，0，C0，32，设E(x，y)，因为直线CD的方程为y＝3x＋32，点E在CD上，所以y＝3x＋32－32≤x≤0，AE→＝x，y＋12，BE→＝x－32，y，∴AE→·BE→＝x2＋y2－32x＋12y＝4x2＋33x＋3＝4x＋3382＋2116，∴当x＝－338时，AE→·BE→有最小值2116.答案：A[类题通法]数量积的最值或范围问题的2种求解方法(1)临界分析法：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围．(2)目标函数法：将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围．1．(2019·攀枝花一模)在四边形ABCD中，已知M是AB边上的点，且MA＝MB＝MC＝MD＝1，∠CMD＝120°，若点N在线段CD(端点C，D除外)上运动，则NA→·NB→的取值范围是()A．[－1,0)B．[－1,1)C.－34，0D.－12，1解析：以AB所在的直线为x轴，以M为原点建立直角坐标系，一般问题特殊化，不妨设AB∥CD，且CD被y轴平分，∵MA＝MB＝MD＝MC＝1，∠CMD＝120°，∴CD＝3，则M(0,0)，A(－1,0)，B(1,0)，设Nx，12，－32x32，∴NA→＝－1－x，－12，NB→＝1－x，－12，NA→·NB→＝(－1－x)(1－x)＋14＝x2－34，∵0≤x234，∴－34≤x2－340则NA→·NB→的取值范围是－34，0故选C.答案：C2．(2019·上海崇明区模拟)直线x＝2与双曲线x24－y2＝1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任意一点，若OP→＝aOA→＋bOB→(a，b∈R，O为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是()A．a2＋b2≥1B．|ab|≥1C．|a＋b|≥1D．|a－b|≥2解析：由题意，双曲线的渐近线方程为y＝±x2，联立直线方程x＝2，解得y＝±1.不妨设A(2