2020版高考数学大二轮复习 专题一 平面向量、三角函数与解三角形 第四讲 三角函数与解三角形的综合

专题一平面向量、三角函数与解三角形第四讲三角函数与解三角形的综合问题考点二考点三考点一目录ONTENTSC4限时规范训练[策略分析·把握技巧]1．常用的变角技巧(1)已知角与特殊角的变换；(2)已知角与目标角的变换；(3)角与其倍角的变换；(4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用．如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·α＋β2，α＋β2＝α－β2－α2－β.2．常用的变式技巧主要从函数名、次数、系数方面入手，常见有：(1)讨论三角函数的性质时，常常将它化为一次的单角的三角函数来讨论；(2)涉及sinx±cosx、sinx·cosx的问题，常做换元处理，如令t＝sinx±cosx∈[－2，2]，将原问题转化为关于t的函数来处理；(3)在解决三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等．[学审题]条件信息想到方法注意什么信息❶和差公式及降幂公式利用三角恒等变换化f(x)为Asin(ωx＋φ)结构信息❷图象平移变换三角函数图象平移变换规律信息❸求g(x)在区间上的单调区间及值域整体代换ωx＋φ研究单调性及值域(1)化简f(x)时，注意变换准确尤其是φ的求法(2)把握准平移变换规律，这一点易出错(3)整体代入思想，转化与化归思想在解题过程中应用[规范解答](1)f(x)＝3sin2x－π3＋4cos2x＝3sin2xcosπ3－cos2xsinπ3＋2(1＋cos2x)……………1分＝32sin2x－32cos2x＋2cos2x＋2＝32sin2x＋12cos2x＋2＝sin2x＋π6＋2，……………2分将函数f(x)的图象向右平移π6个单位，再向下平移2个单位，得到g(x)＝sin2x－π6＋π6＋2－2＝sin2x－π6的图象，……………………3分即g(x)＝sin2x－π6.……………………4分(2)由π6≤x≤2π3，可得π6≤2x－π6≤7π6.……………………5分当π2≤2x－π6≤7π6，即π3≤x≤2π3时，函数g(x)单调递减．∴g(x)在π6，2π3上单调递减区间为π3，2π3.……………………6分当π6≤2x－π6≤π2，即π6≤x≤π3时，g(x)单调递增，∴g(x)的增区间为π6，π3.………………………8分即g(x)在π6，π3上单调递增，在π3，2π3上单调递减，∴g(x)max＝gπ3＝sinπ2＝1.又g2π3＝sin7π6＝sinπ＋π6＝－sinπ6＝－12gπ6＝sinπ6＝12，∴－12≤g(x)≤1，……………………10分即g(x)在π6，2π3上的值域为－12，1.……………………12分[类题通法]解决三角函数图象与性质综合问题的思路(1)先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B(一角一函数)的形式；(2)把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性、奇偶性、最值、对称性等问题．(2019·咸阳一模)设函数f(x)＝sin2x－π6＋cos2x－12(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2，fπ4－B2＝235，A＝π6，求a的值．解析：(1)函数f(x)＝sin2x－π6＋cos2x－12(x∈R)＝32sin2x－12cos2x＋12cos2x＝32sin2x，故函数f(x)的最小正周期为2π2＝π.令2kπ－π2≤2x≤2kπ＋π2，求得kπ－π4≤x≤kπ＋π4，可得函数的增区间为kπ－π4，kπ＋π4，k∈Z.(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2，fπ4－B2＝32sinπ2－B＝32cosB＝235，∴cosB＝45，∴sinB＝1－cos2B＝35，∵A＝π6，由正弦定理可得asinπ6＝235，求得a＝53.三角形中的常用结论(1)A＋B＝π－C，A＋B2＝π2－C2.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC(A，B，C≠π2)．[学审题]条件信息想到方法注意什么信息❶与三个内角有关的三角恒等式化简，利用正弦定理化角为边信息❷求A利用余弦定理求解信息❸已知2a＋b＝2c利用正弦定理化边为角，利用变角求解sinC转化与化归思想，整体变换求值在解题过程中的应用[规范解答](1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，…………2分故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.…………………4分因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.…………………5分(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，即62＋32cosC＋12sinC＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－22.…………………8分因为0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝22，……………10分故sinC＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝6＋24.…………12分[类题通法]1.与三角形面积有关的问题的解题模型2．学科素养：通过三角恒等变换与利用正、余弦定理着重考查逻辑推理与数学运算两大素养．(2019·榆林二模)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(sinA＋sinB)(a－b)＝c·(sinC－sinB)，a＝27，且△ABC的面积为63.(1)求A；(2)求△ABC的周长．解析：(1)∵(sinA＋sinB)(a－b)＝c·(sinC－sinB)，∴由正弦定理可得，(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，化简可得，b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理可得，cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，∵0Aπ，∴A＝π3.(2)∵a＝27，A＝π3，△ABC的面积为63＝12bcsinA＝12×32×bc.∴解得：bc＝24，∴由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得：28＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－72∴(b＋c)2＝100，解得：b＋c＝10，∴△ABC的周长a＋b＋c＝10＋27.(2018·高考全国卷Ⅰ)(12分)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5❶.(1)求cos∠ADB❷；(2)若DC＝22，求BC❸.[学审题]条件信息想到方法注意什么信息❶已知角边将条件置于一个三角形内，判断利用正弦定理还是余弦定理信息❷求角的余弦值解三角形后，利用平方关系可求信息❸求边关键是将BC放置于哪个三角形求解结合图形，将条件的基本量置于各个可解的三角形内，注意三角恒等变换的应用[规范解答](1)在△ABD中，由正弦定理得BDsin∠A＝ABsin∠ADB，即5sin45°＝2sin∠ADB，……………2分所以sin∠ADB＝25.………………4分由题设知，0°∠ADB90°，所以cos∠ADB＝1－225＝235.……………6分(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝25.……………8分在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×22×25＝25，……………10分所以BC＝5.………12分[类题通法]求解与三角形相关的平面几何问题的策略一般先将所给的图形拆分成若干个三角形，根据已知条件确定解三角形的先后顺序，再根据各个三角形之间的关系，交叉使用公共条件，求得结果，同时注意相关平面几何知识的应用．(2019·济宁一模)如图，在四边形ABCD中，∠B＝23π，AB＝3，S△ABC＝343.(1)求∠ACB的大小；(2)若BC⊥CD，∠ADC＝π4，求AD的长．解析：(1)在△ABC中，S△ABC＝12AB·BC·sin∠ABC，∴由题意可得：12×3×BC×sin2π3＝334，∴BC＝3，∴AB＝BC，又∵∠B＝2π3，∴∠ACB＝π6.(2)∵BC⊥CD，∴∠ACD＝π3，∵由余弦定理可得：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos2π3＝(3)2＋(3)2－2×3×3×－12＝9，∴AC＝3，∴在△ACD中，由正弦定理可得：AD＝AC·sin∠ACDsin∠ADC＝3×sinπ3sinπ4＝362.