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考点二考点三考点一目录ONTENTSC4限时规范训练专题六函数与不等式、导数第二讲基本初等函数、函数与方程[考情分析·明确方向]1.基本初等函数作为高考的命题热点,多考查利用函数的性质比较大小,一般出现在第5~11题的位置,有时难度较大.2.函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上,近几年全国课标卷考查较少,但也要引起重视,题目可能较难.1.利用指数函数与对数函数的性质比较大小(1)底数相同、指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较;底数相同、真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较.(2)底数不同、指数也不同,或底数不同、真数也不同的两个数,可以引入中间量或结合图象进行比较.2.对于含参数的指数、对数问题,在应用单调性时,要注意对底数进行讨论,解决对数问题时,首先要考虑定义域,其次利用性质求解.1.(2019·让胡路区校级二模)已知函数f(x)=log22xx-1+m是奇函数,则实数m=()A.-2B.-1C.1D.2解析:依题意:f(-x)+f(x)=log2-2x-x-1+m+log22xx-1+m=0恒成立,即m+2xx+1m+2xx-1=1,即4x2x2-1(m+1)+m2-1=0,∴m=-1m2-1=0,解得m=-1,故选B.答案:B2.(2019·内蒙古一模)已知实数a=3ln3,b=3+3ln3,c=(ln3)3,则a,b,c的大小关系是()A.cbaB.cabC.bacD.acb解析:∵1ln343,∴b=3+3ln36,3a3436,c433=64273.∴cab.故选B.答案:B3.(2019·陕西二模)已知点(2,8)在幂函数f(x)=xn图象上,设a=f120.5,b=f(20.2),c=flog212,则a,b,c的大小关系为()A.bacB.abcC.cbaD.bca解析:∵点(2,8)在幂函数f(x)=xn图象上,∴f(2)=2n=8,解得n=3,∴f(x)=x3,∵a=f120.5=121.5=2-1.5,b=f(20.2)=20.6,c=flog212=f(-1)=(-1)3=-1,∴a,b,c的大小关系为bac.答案:A4.(2019·镇海区校级月考)函数f(x)=12x2-x-1的单调递减区间为________.解析:∵函数f(x)=12x2-x-1,∴x2-x-1≥0,求得x≤1-52或x≥1+52,故函数的定义域为xx≤1-52或x≥1+52,本题即求t=x2-x-1在定义域内的增区间,再根据二次函数的性质可得t=x2-x-1在定义域内的增区间为1+52,+∞,故答案为:1+52,+∞.答案:1+52,+∞[类题通法]1.对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值,当底数a的值不确定时,要注意分a1和0a1两种情况讨论:当a1时,两函数在定义域内都为增函数;当0a1时,两函数在定义域内都为减函数.2.由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数,其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质,然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断.3.对于幂函数y=xα的性质要注意α0和α0两种情况的不同.1.(2019·凉山州模拟)已知3a=5b=15,则a,b不可能满足的关系是()A.a+b4B.ab4C.(a-1)2+(b-1)22D.a2+b28解析:∵3a=5b=15,∴(3a)b=15b,(5b)a=15a,∴3ab=15b,5ba=15a,∴3ab·5ba=15b·15a,∴(15)ab=15a+b,∴ab=a+b,则有ab=a+b≥2ab,∵a≠b,∴ab2ab,∴a+b=ab4,∴(a-1)2+(b-1)2=a2+b2-2(a+b)+22ab-2(a+b)+2=2,∵a2+b22ab8,故D错误.故选D.答案:D2.(2019·菏泽模拟)中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美,如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美,给出定义:能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”,给出下列命题:①对于任意一个圆O,其“优美函数”有无数个;②函数f(x)=ln(x2+x2+1)可以是某个圆的“优美函数”;③函数y=1+sinx可以同时是无数个圆的“优美函数”;④函数y=2x+1可以同时是无数个圆的“优美函数”;⑤函数y=f(x)是“优美函数”的充要条件为函数y=f(x)的图象是中心对称图形.其中正确的命题是________.解析:①对于任意一个圆O,其过圆心的对称轴有无数条,所以其“优美函数”有无数个;②函数f(x)=ln(x2+x2+1)的定义域为R,值域为[0,+∞)不可以是某个圆的“优美函数”;③函数y=1+sinx,根据y=sinx的图象可知可以将圆分成优美函数,图象可以延伸,所以可以同时是无数个圆的“优美函数”;④函数y=2x+1只要过圆心,即可以同时是无数个圆的“优美函数”;⑤函数y=f(x)是“优美函数”的充要条件为函数y=f(x)的图象是中心对称图形,不对,有些中心对称图形不一定是“优美函数”,比如“双曲线”;故答案为:①③④.答案:①③④[类题通法]求解基本初等函数创新应用问题多与不等式交汇考查,主要考查基本初等函数的图象与性质的应用,求解时注意分类讨论思想与数形结合思想的应用.1.函数的零点及其与方程根的关系对于函数f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的零点.函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.2.零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.探究1函数零点个数或所在区间判断(1)(2019·河南郑州质检)已知函数f(x)=12x-cosx,则f(x)在[0,2π]上的零点个数为()A.1B.2C.3D.4解析:如图,作出g(x)=12x与h(x)=cosx的图象,可知其在[0,2π]上的交点个数为3,所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3,故选C.答案:C(2)(2019·河南濮阳一模)函数f(x)=ln(2x)-1的零点位于区间()A.(2,3)B.(3,4)C.(0,1)D.(1,2)解析:∵f(x)=ln(2x)-1是增函数,且是连续函数,f(1)=ln2-10,f(2)=ln4-10,∴根据函数零点的存在性定理可得,函数f(x)的零点位于区间(1,2)上.答案:D[类题通法]1.判断函数在某个区间上是否存在零点的方法(1)解方程:当函数对应的方程易求解时,可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上;(2)利用零点存在性定理进行判断;(3)画出函数图象,通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.2.判断函数零点个数的3种方法探究2根据函数零点或方程根问题求参数或范围(2019·抚顺一模)若函数f(x)=ex(x2-2x)-a有三个零点,则实数a的取值范围是()A.[(2-22)e2,(2+22)e-2]B.((2-22)e2,(2+22)e-2)C.((2-22)e2,0)D.(0,(2+22)e-2)解析:由f(x)=ex(x2-2x)-a=0得a=ex(x2-2x),设g(x)=ex(x2-2x),则g′(x)=ex(x2-2),由g(x)0得x2-20得x2或x-2,此时函数g(x)为增函数,由g(x)0得x2-20得-2x2,此时函数g(x)为减函数,即当x=2时,g(x)取得极小值g(2)=e2(2-22),当x=-2时,g(x)取得极大值g(-2)=e-2(2+22),当x→-∞,f(x)→0,且f(x)0,要使f(x)有三个零点,则0ae-2(2+22),即实数a的取值范围是(0,e-2(2+22)),故选D.答案:D[类题通法]利用函数零点的情况求参数的范围的3种方法1.函数y=|log2x|-12x的零点个数是()A.0B.1C.2D.4解析:令y=|log2x|-12x=0,即|log2x|=12x,在同一平面直角坐标系中作出y=|log2x|和y=12x的图象(图略),由图象可知这两个函数的图象有两个交点,即所求零点个数为2.答案:C2.(2019·河北承德月考)已知函数f(x)=2x-2-1,x≥0,x+2,x0,g(x)=x2-2x,x≥0,1x,x0,则函数f(g(x))的所有零点之和是()A.-12+3B.12+3C.-1+32D.1+32解析:由f(x)=0得x=2或x=-2,由g(x)=2得x=1+3,由g(x)=-2得x=-12,所以函数f(g(x))的所有零点之和是-12+1+3=12+3,故选B.答案:B3.(2019·天津河西区期末)已知函数f(x)=-x2-2x+3,x≤1,lnx,x1,若关于x的方程f(x)=kx-12恰有4个不相等的实数根,则实数k的取值范围是()A.12,eB.12,eC.12,eeD.12,ee解析:若关于x的方程f(x)=kx-12恰有4个不相等的实数根,则f(x)的图象和直线y=kx-12有4个交点.作出函数f(x)的图象,如图,故点(1,0)在直线y=kx-12的下方.∴k·1-120,解得k12.当直线y=kx-12和y=lnx相切时,设切点横坐标为m,则k=lnm+12m=1m,∴m=e.此时,k=1m=ee,f(x)的图象和直线y=kx-12有3个交点,不满足条件,故要求的k的取值范围是12,ee,故选D.答案:D解决函数模型的实际应用问题,首先考虑题目考查的函数模型,并要注意定义域.其解题步骤是:(1)阅读理解,审清题意:分析出已知是什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题.(2)数学建模:弄清题目中的已知条件和数量关系,建立函数关系式.(3)解函数模型:利用数学方法得出函数模型的数学结果.(4)实际问题作答:将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.一个容器装有细沙acm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,tmin后剩余的细沙量为y=ae-bt(cm3),经过8min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过________min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.解析:当t=0时,y=a,当t=8时,y=ae-8b=12a,所以e-8b=12,容器中的沙子只有开始的八分之一时,即y=ae-bt=18a,则e-bt=18=(e-8b)3=e-24b,则t=24,所以再经过24-8=16(min),容器中的沙子只有开始时的八分之一.答案:16[类题通法]应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键(1)一般程序:读题文字语言⇨建模数学语言⇨求解数学应用⇨反馈检验作答(2)解题关键:解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式,然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.1.(2019·河北邯郸联考)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传,在一年内预计销售量y(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为y=1+3xx+2(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为4万元,每生产1万件此产品仍需再投入30万元,且能全部售完.若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产
本文标题:2020版高考数学大二轮复习 专题六 函数与不等式、导数 第二讲 基本初等函数、函数与方程课件 文
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