2020版高考数学大二轮复习 专题二 数列 第一讲 等差数列、等比数列课件 理

专题二数列第一讲等差数列、等比数列考点二考点三考点一目录ONTENTSC4限时规范训练[考情分析·明确方向]高考主要考查两种基本数列(等差数列、等比数列)，若以客观题考查，难度中等的题目较多，但有时也出现在第12题或第16题位置上，难度偏大．对于等差数列、等比数列的基本问题的考查主要以通项、求和为主．有时与数学文化或其他知识进行交汇创新考查．两组求和公式(1)等差数列：Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d；(2)等比数列：Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q(q≠1)．(一)常规考法1．(2018·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A．－12B．－10C．10D．12解析：设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得33a1＋3×3－12×d＝2a1＋2×2－12×d＋4a1＋4×4－12×d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.答案：B2．已知数列{an}是首项a1＝14的等比数列，其前n项和Sn中S3＝316，若am＝－1512，则m的值为()A．8B．10C．9D．7解析：设数列{an}的公比为q，若q＝1，则S3＝34≠316，不符合题意，∴q≠1.由a1＝14，S3＝a11－q31－q＝316，得a1＝14，q＝－12，∴an＝14·－12n－1＝－12n＋1，由am＝－12m＋1＝－1512，得m＝8.答案：A3．(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝34，则S4＝________.解析：设等比数列的公比为q，则an＝a1qn－1＝qn－1.∵a1＝1，S3＝34，∴a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝34，即4q2＋4q＋1＝0，∴q＝－12，∴S4＝1×1－－1241－－12＝58.答案：584．(2019·咸阳二模)已知等比数列{an}的各项都为正数，满足a1＝2，a7＝4a5，设bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an，则数列1bn的前2019项和S2019＝________.解析：设等比数列{an}的公比为q0，∵a1＝2，a7＝4a5，∴q2＝4，解得q＝2.∴an＝2n，log2an＝n.∴bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an＝1＋2＋…＋(n－1)＋n＝nn＋12.∴1bn＝21n－1n＋1.则数列1bn的前2019项和S2019＝21－12＋12－13＋……[phone]＋1＝21－12020＝20191010.故答案为：20191010.答案：20191010[类题通法]在进行等差(比)数列的基本量运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(或q)的方程组求解，但要注意消元法及整体代换，以减少计算量．(二)创新考法1．(2019·临沂一模)“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统综》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节四升五，上梢四节三升八，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”(【注】四升五：4.5升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量．)用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为()A．2.2升B．2.3升C．2.4升D．2.5升解析：设从下至上各节容积分别为a1，a2，…，a9，则{an}是等差数列，设公差为d，由题意得a1＋a1＋d＋a1＋2d＝4.5，a1＋5d＋a1＋6d＋a1＋7d＋a1＋8d＝3.8，解得a1＝1.6，d＝－0.1，∴中间两节的容积为：a4＋a5＝(1.6－0.1×3)＋(1.6－0.1×4)＝2.5(升)．故选D.答案：D2．(2019·渭滨区校级一模)等差数列{an}的前n项和为Sn，若公差d0，(S8－S5)(S9－S5)0，则()A．a7＝0B．|a7|＝|a8|C．|a7||a8|D．|a7||a8|解析：∵公差d0，(S8－S5)(S9－S5)0，∴S9S8，∴S8S5S9，∴a6＋a7＋a80，∴a6＋a7＋a8＋a90，∴a70，a7＋a80，∴|a7||a8|，故选D.答案：D3．(2019·信州区校级月考)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为()A．2B.6766C．3D.3解析：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积3，下面3节的容积之积为9，∴a1·a1q·a1q2＝3，a1q6·a1q7·a1q8＝9，解得a1q＝33，q3＝63，∴第5节的容积为：a1q4＝a1q·q3＝33·63＝3.故选D.答案：D[类题通法]等差数列、等比数列多与数学文化、不等式等知识创新交汇命题，解决此类问题时要注意构造思想转化思想的运用．1．等差数列、等比数列常用性质：等差数列等比数列性质(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；(2)an＝am＋(n－m)d；(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；(2)an＝amqn－m；(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(Sm≠0)2.等差数列中利用中项求和：(1)若n为奇数，则.(2)若n为偶数，则．3．在等差数列中，当项数为偶数2n时，有S偶－S奇＝nd，S偶S奇＝an＋1an；当项数为奇数2n－1时，有S奇－S偶＝an，S偶S奇＝n－1n.4．在等比数列中，当项数为偶数2n时，S偶S奇＝q.(一)常规考法1．(2019·道里区校级一模)等差数列{an}中，a3与a8的等差中项为10，则a1＋a10＝()A．40B．30C．20D．10解析：a1＋a10＝a3＋a8＝20，故选C.答案：C2．(2019·辽宁五校联考)各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为22，则log2a7＋log2a11的值为()A．1B．2C．3D．4解析：由题意得a4a14＝(22)2＝8，由等比数列的性质，得a4a14＝a7a11＝8，∴log2a7＋log2a11＝log2(a7a11)＝log28＝3，故选C.答案：C3．等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn＝5n＋2n＋3，则a2＋a20b7＋b15＝()A.10724B.724C.14912D.1493解析：法一：设Sn＝5n2＋2n，则Tn＝n2＋3n.当n＝1时，a1＝7，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝10n－3，∵a1＝7符合上式，∴an＝10n－3，同理bn＝2n＋2，∴a2＋a20b7＋b15＝10724.法二：由题知，a2＋a20b7＋b15＝S21T21＝10724.答案：A4．(2019·湖南邵阳二模)设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S4S2＝3，则S6S4＝()A．2B.73C.310D．1或2解析：设S2＝k，S4＝3k，∵数列{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，又S2＝k，S4－S2＝2k，∴S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴S6S4＝7k3k＝73，故选B.答案：B(二)创新考法1．(2019·南充模拟)在等比数列{an}中，a2·a6＝2π3，则sina24－π3＝()A．－12B.12C.32D．－32解析：在等比数列{an}中，a2·a6＝2π3，可得a24＝a2·a6＝2π3，则sina24－π3＝sinπ3＝32，故选C.答案：C2．(2019·衡阳一模)设正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2019＝6057，则1a2＋4a2018的最小值为()A．1B.23C.136D.32解析：依题20192(a1＋a2019)＝6057⇒a1＋a2019＝a2＋a2018＝6，1a2＋4a2018＝16(a2＋a2018)1a2＋4a2018＝165＋4a2a2018＋a2018a2≥32.当且仅当a4＝2，a2018＝4时取等号，故选D.答案：D3．(2019·宜宾模拟)等比数列{an}的各项均为正数，已知向量a＝(a4，a5)，b＝(a7，a6)，且a·b＝4，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝()A．12B．10C．5D．2＋log25解析：向量a＝(a4，a5)，b＝(a7，a6)，且a·b＝4，∴a4a7＋a5a6＝4，由等比数列的性质可得：a1a10＝……＝a4a7＝a5a6＝2，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝log2(a1a2·a10)＝log2(a1a10)5＝log225＝5.故选C.答案：C[类题通法]等差、等比数列性质问题的求解策略(1)解题关键：抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．(2)运用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．由an与Sn的关系求通项公式的注意事项(1)应重视分类讨论思想的应用，分n＝1和n≥2两种情况讨论，特别注意an＝Sn－Sn－1成立的前提是n≥2.(2)由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1也适合，则需统一表示(“合写”)．(3)由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1不适合，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2.(1)(2019·大武口区校级一模)已知数列{an}的首项为1，第2项为3，前n项和为Sn，当整数n1时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)恒成立，则S15等于()A．210B．211C．224D．225解析：结合Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)可知，Sn＋1＋Sn－1－2Sn＝2a1，得到an＋1－an＝2a1＝2，所以an＝1＋2·(n－1)＝2n－1，所以a15＝29，所以S15＝a1＋a15152＝29＋1·152＝225，故选D.答案：D(2)(2019·龙岗区期末测试)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n，n∈N*，若bn＋1＝(n－λ)(an＋1)，b1＝－λ，且对于任意的n∈N*，都有bnbn＋1，则实数λ的取值范围是________．解析：根据题意，数列{an}中，an＋1＝an＋2n，则有an－an－1＝2n－1，又由a1＝1，则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋……＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋……＋2＋1＝2n－1；则bn＋1＝(n－λ)(an＋1)＝(n－λ)×2n，又由b1＝－λ，若对于任意的n∈N*，都有bnbn＋1，则有－λ1－λ×2，n－1－λ×2n－1n－λ×2n，解可得：λ2，λn＋1，又由n∈N*，则λ2，即λ的取值范围为(－∞，2)．故答案为：(－∞，2)．答案：(－∞，2)[类题通法]等差、等比数列综合问题的求解策略(1)对于等差数列与等比数列交汇的问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用等差中项、等比中项等性质，可使运算简便．(2)数列的通项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列的有关最值问题．1．(2019·海淀区校级月考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论中一定成立的()A．若a50，则S20190B．若a50，则S20190C．若a60，