2020版高考数学大二轮复习 第二部分 专题2 数列 第1讲 等差数列与等比数列课件 理

第1讲等差数列与等比数列等差、等比数列的基本运算考情调研考向分析以考查等差、等比数列的通项、前n项和的运算为主，在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与等差(比)数列、数列求和、不等式等问题综合考查.1.等差(比)数列中a1、n、d(q)、an、Sn量的计算．2.等差、等比数列的交汇运算.[题组练透]1．(2019·开封模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a5＝－10，则a1＝()A．－3B．－2C．2D．3解析：由题得9a1＋9d＝6a1＋7da1＋4d＝－10，∴a1＝2，d＝－3.故选C.答案：C2．(2019·攀枝花模拟)已知等差数列{an}的公差为3，且a1＋a3＝8，则数列{an}的前4项的和S4的值为()A．10B．16C．22D．35解析：∵等差数列{an}的公差为3，且a1＋a3＝8，∴2a1＋2×3＝8，∴a1＝1，∴S4＝4×1＋4×32×3＝22，故选C.答案：C3．(2019·晋城模拟)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝5，S4＝85，则公比q＝()A．5B．4C．3D．2解析：因为S2＝5，S4＝85，S4－S2＝80，所以a1＋a2＝5a3＋a4＝80，两个方程左右两边分别相除，得q2＝16，因为数列是正项等比数列，所以q＝4，故选B.答案：B4．(2019·九江模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a5－a2＝2，则S15＝()A．28B．30C．56D．60解析：设等差数列{an}公差为d，由2a5－a2＝2得2(a1＋4d)－(a1＋d)＝a1＋7d＝2，∴a8＝2，∴S15＝15a8＝15×2＝30.故选B.答案：B[题后悟通]等差(比)数列基本运算的解题思路(1)设基本量：首项a1和公差d(公比q)．(2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(或q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．等差、等比数列的判定与证明考情调研考向分析等差、等比数列的证明是考查的热点．在高考中主要以解答题的形式进行考查．解答题往往与等差(比)数列、数列求和、不等式等问题综合考查.1.定义法．2.等差(比)中项法.[题组练透]1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3的值；(2)设bn＝an＋3，证明数列{bn}为等比数列，并求通项公式an.解析：(1)因为数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．所以n＝1时，由a1＝S1＝2a1－3×1，解得a1＝3，n＝2时，由S2＝2a2－3×2，得a2＝9，n＝3时，由S3＝2a3－3×3，得a3＝21.(2)证明：因为Sn＝2an－3n，所以Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)，两式相减，得an＋1＝2an＋3，由bn＝an＋3得bn＋1＝an＋1＋3＝2an＋6＝2(an＋3)，所以bn＋1＝2bn(n∈N*)，且b1＝6，所以数列{bn}是以6为首项，2为公比的等比数列，所以bn＝6×2n－1，所以an＝bn－3＝6×2n－1－3＝3(2n－1)．2．数列{an}满足a1＝6，an＋1＝6an－9an(n∈N*)．(1)求证：数列1an－3是等差数列；(2)求数列lgan的前999项和．解析：(1)证明：数列{an}满足：a1＝6，an＋1＝6an－9an(n∈N*)，1an＋1－3＝16an－9an－3＝an－3＋33an－3＝13＋1an－3，所以，1an＋1－3－1an－3＝13，即数列1an－3是以1a1－3＝13为首项，13为公差的等差数列．(2)由(1)得1an－3＝13＋13(n－1)，解得：an＝3n＋1n，所以，lgan＝lg3n＋1n＝lg3＋lg(n＋1)－lgn，于是，Tn＝[lg3＋lg2－lg1]＋[lg3＋lg3－lg2]＋…＋[lg3＋lg(n＋1)－lgn]＝nlg3＋lg(n＋1)，当n＝999时，T999＝999lg3＋lg1000＝3＋999lg3.[题后悟通]数列{an}是等差数列或等比数列的证明方法(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法①利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数．②利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．(2)证明{an}是等比数列的两种基本方法①利用定义，证明an＋1an(n∈N*)为一常数．②利用等比中项，即证明a2n＝an－1an＋1(n≥2).等差、等比数列的性质考情调研考向分析以考查等差、等比数列的性质为主，在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与等差(比)数列、数列求和、不等式等问题综合考查.1.等差、等比数列项的性质．2.等差、等比数列和的性质.[题组练透]1．在等差数列{an}中，a2与a4是方程x2－4x＋3＝0的两根，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝()A．6B．8C．10D．12解析：∵a2与a4是方程x2－4x＋3＝0的两根，∴a2＋a4＝4＝a1＋a5＝2a3，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝10.故选C.答案：C2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S7＝21，则a4＝()A．0B．2C．3D．6解析：因为{an}是等差数列，所以S7＝7a1＋a72＝21⇒a1＋a7＝6⇒2a4＝6⇒a4＝3，故选C.答案：C3．在正项等比数列{an}中，a1a5＋2a3a7＋a5a9＝16，且a5与a9的等差中项为4，则{an}的公比是()A．1B．2C.22D.2解析：由题意，正项等比数列{an}中，a1a5＋2a3a7＋a5a9＝16，可得a23＋2a3a7＋a27＝(a3＋a7)2＝16，即a3＋a7＝4，a5与a9的等差中项为4，即a5＋a9＝8，设公比为q，则q2(a3＋a7)＝4q2＝8，则q＝2(负的舍去)，故选D.答案：D4．设等差数列{an}的前n项和为Sn若S3＝9，S6＝27，则S9＝()A．45B．54C．72D．81解析：因为{an}为等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，所以2(S6－S3)＝S3＋S9－S6即36＝9＋S9－27，所以S9＝54，故选B.答案：B[题后悟通]等差、等比数列性质问题的求解策略抓关系抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解用性质数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题