2020版高考数学大二轮复习 第二部分 专题1 三角函数与解三角形 第1讲 三角函数的图象与性质课件

第1讲三角函数的图象与性质三角函数的定义、诱导公式及基本关系考情调研考向分析考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变换的技能以及基本的运算能力．题型为选择题和填空题，低档难度.1.利用同角三角函数基本关系式求值．2.诱导公式的应用.[题组练透]1．(2019·渭南模拟)已知cosα＝－13，α∈π2，π，则sin(π＋α)＝()A.223B．－223C．±223D.13解析：∵cosα＝－13，α∈π2，π，∴sinα＝1－cos2α＝1－19＝223，∴sin(π＋α)＝－sinα＝－223.故选B.答案：B2．已知sinθ＋cosθ＝13(－πθ0)，则sinθ－cosθ的值为()A.153B．－153C.173D．－173解析：由sinθ＋cosθ＝13可得1＋2sinθcosθ＝19，∴sin2θ＝－890，则－π2θ0，∴sinθ－cosθ＝－sinθ－cosθ2＝－1＋89＝－173.故选D.答案：D3．(2019·石家庄模拟)已知sinα＝13，α∈－π2，π2，则tanα＝________.解析：根据三角函数的基本关系式可得cos2α＝1－sin2α＝1－132＝89，又因为α∈－π2，π2，所以cosα＝223，所以tanα＝sinαcosα＝24.答案：24[题后悟通]1．同角三角函数基本关系式的应用技巧知弦求弦利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解知弦求切常通过平方关系、对称式sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα建立联系，注意tanα＝sinαcosα的灵活应用知切求弦通常先利用商数关系转化为sinα＝tanα·cosα的形式，然后用平方关系求解和积转换法如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化巧用“1”的变换1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ1＋1tan2θ2.利用诱导公式进行化简求值的步骤利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．(注意“奇变偶不变，符号看象限”)三角函数的性质考情调研考向分析以考查三角函数的性质为主，题目涉及三角函数的对称性、单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.1.三角函数的单调性．2.三角函数的最值与值域．3.三角函数的奇偶性与对称性．4.三角函数的周期性.[题组练透]1．(2019·合肥质检)若函数f(x)＝sinωx＋π3－1(ω0)的最小正周期为2π3，则f(x)图象的一条对称轴为()A．x＝－π18B．x＝－5π2C．x＝7π18D．x＝π2解析：函数f(x)的最小正周期为T＝2πω＝2π3，解得ω＝3.f(x)＝sin3x＋π3－1，令3x＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)，解得x＝kπ3＋π18(k∈Z)，取k＝1，可得f(x)图象的一条对称轴为x＝7π18.故选C.答案：C2．(2019·蚌埠模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω0，|φ|π2图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度后，得到函数g(x)的图象．若函数g(x)为偶函数，则函数f(x)在区间－π6，π6上的值域是()A.－1，12B．(－2,1)C.－1，12D．[－2,1]解析：因为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω0，φπ2图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以T＝π，而ω0，T＝2π|ω|⇒ω＝2，又因为函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度后，得到函数g(x)的图象，所以g(x)＝2sin2x＋2π3＋φ，由函数g(x)为偶函数，可得2π3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，而|φ|π2，所以φ＝－π6，因此f(x)＝2sin2x－π6，x∈－π6，π6⇒2x－π6∈－π2，π6⇒sin2x－π6∈－1，12，所以函数f(x)在区间－π6，π6上的值域是[－2,1]，故选D.答案：D3．(2019·武汉质检)已知函数y＝2sin(2x＋φ)－π2φπ2的图象关于直线x＝π6对称，则φ的值为________．解析：2x＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)⇒x＝π4＋kπ2－φ2(k∈Z)，∴y＝2sin(2x＋φ)的对称轴为x＝π4＋kπ2－φ2(k∈Z)．又x＝π6为对称轴，∴φ2＝π12＋kπ2(k∈Z)，即φ＝π6＋kπ(k∈Z)．又－π2φπ2，∴k＝0，即φ＝π6.答案：π6[题后悟通]1．求三角函数单调区间的方法(1)代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，得y＝Asinz(或y＝Acosz)，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．2．判断对称中心与对称轴的方法利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．3．求三角函数周期的常用结论(1)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期.三角函数的图象考情调研考向分析以考查函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主，常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查，加强数形结合思想的应用意识．题型为选择题和填空题，中档难度.1.由图象求解析式．2.图象的平移、变换.[题组练透]1．(2019·云南质检)为得到函数y＝2sin3x－π3的图象，只需要将函数y＝2sin3x＋π2的图象()A．向左平行移动π6个单位长度B．向右平行移动π6个单位长度C．向左平行移动5π18个单位长度D．向右平行移动5π18个单位长度解析：依题意y＝2sin3x＋π2向右平移π2＋π3×13＝5π18个单位长度，得到y＝2sin3x－π3的图象．答案：D2．(2019·南宁模拟)已知Pπ12，1，Q5π12，－1分别是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0，|φ|π2)图象上相邻的最高点和最低点，则ωφ＝()A.π2B．－π2C．－3π4D.3π4解析：因为2×5π12－π12＝T＝2πω，所以ω＝3，把Pπ12，1的坐标代入y＝sin(3x＋φ)，得φ＝π4＋2kπ(k∈Z)，因为|φ|π2，所以φ＝π4，ωφ＝3π4.故选D.答案：D3．(2019·南昌模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，若将f(x)图象上的所有点向左平移π4个单位长度得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间是()A.kπ－7π12，kπ－π12(k∈Z)B.kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)C.kπ－5π24，kπ＋7π24(k∈Z)D.kπ－11π24，kπ＋π24(k∈Z)解析：由图可得T4＝5π12－π6＝π4，故T＝π＝2πω，解得ω＝2，将点π6，A代入函数f(x)＝Asin(2x＋φ)，即A＝Asinπ3＋φ，故sinπ3＋φ＝1.因为|φ|π2，所以φ＝π6，故函数f(x)＝Asin2x＋π6，因为将f(x)图象上的所有点向左平移π4个单位长度得到函数g(x)的图象，所以g(x)＝Asin2x＋π4＋π6＝Asin2x＋2π3，当－π2＋2kπ≤2x＋2π3≤π2＋2kπ，k∈Z时解得－7π12＋kπ≤x≤－π12＋kπ，k∈Z，故当x∈－7π12＋kπ，－π12＋kπ，k∈Z时，g(x)单调递增，故选A.答案：A4．(2019·海口质检)将函数f(x)＝sin4x－π6的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的最小正周期是________．解析：依题意可得g(x)＝sin2x－π6，所以g(x)的最小正周期是T＝2π2＝π.答案：π[题后悟通]1．由“图”定“式”找“对应”的方法由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图．(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝M＋m2，A＝M－m2.(2)T定ω：由周期的求解公式T＝2πω，可得ω＝2πT.(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”．2．关于三角函数的图象变换的方法沿x轴沿y轴平移变换由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ0，左移；φ0，右移由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k0，上移；k0，下移伸缩变换由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1|ω|倍由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A|倍