2020版高考数学大二轮复习 3.1 平面向量课件 理

考点1平面向量的概念与线性运算1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．2．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．[例1](1)[2019·河北衡水中学摸底]如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AE→＝2EO→，则ED→＝()A.13AD→－23AB→B.23AD→＋13AB→C.23AD→－13AB→D.13AD→＋23AB→(2)[2019·四川绵阳联考]如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC.若AC→＝mAB→＋nAD→(m，n∈R)，则m－n＝()A．2B．1C．－2D．3【解析】(1)ED→＝EA→＋AD→＝－13AC→＋AD→＝－13(AD→＋AB→)＋AD→＝23AD→－13AB→.(2)∵BD→＝2DC→，∴AD→－AB→＝2(AC→－AD→)，∴AC→＝－12AB→＋32AD→，∴m＝－12，n＝32，∴m－n＝－2.故选C.【答案】(1)C(2)C1．平面向量的线性运算技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b≠0时，a∥b⇔存在唯一实数λ，使得a＝λb)来判断．2．[警示]证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.『对接训练』1．[2019·福建三明期末]在△ABC中，3CD→＝BD→，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若AO→＝λAB→＋μAC→，则λ·μ＝()A．－34B．－316C.34D.316解析：如图，∵3CD→＝BD→，O为AD的中点，∴AO→＝12AD→＝12AB→＋12BD→＝12AB→＋12×32BC→＝12AB→＋34(AC→－AB→)＝－14AB→＋34AC→＝λAB→＋μAC→，∴λ＝－14，μ＝34，∴λ·μ＝－316.故选B.答案：B2．[2019·福建宁德五中期中]设O为△ABC的重心，若AB→＝λAO→＋μAC→，则λ＋μ＝()A.32B．2C．－2D.23解析：解法一∵O为△ABC的重心，∴AO→＝AB→＋AC→3，又AB→＝λAO→＋μAC→，∴λ3－1AB→＋λ3＋μAC→＝0.∵AB→与AC→不共线，∴λ3－1＝0，λ3＋μ＝0，∴λ＝3，μ＝－1，∴λ＋μ＝2.故选B.解法二设BC的中点为D，连接AD，∵O为△ABC的重心，∴AO→＝2AD→3，又AB→＝λAO→＋μAC→，∴AB→＝2λ3AD→＋μAC→，∴AD→＝32λAB→－3μ2λAC→.∵B，D，C三点共线，且D为BC的中点，∴32λ＝－3μ2λ＝12，∴λ＝3，μ＝－1，∴λ＋μ＝2.故选B.解法三连接OB，OC，∵AB→＝λAO→＋μAC→，∴OB→－OA→＝－λOA→＋μOC→－μOA→，即(－1＋λ＋μ)OA→＋OB→－μOC→＝0，又O为△ABC的重心，∴OA→＋OB→＋OC→＝0，∴－1＋λ＋μ＝1，μ＝－1，∴λ＝3，∴λ＋μ＝2.故选B.答案：B考点2向量的平行与垂直1．向量平行(共线)(1)向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.2．向量垂直向量a，b是非零向量，a⊥b⇔a·b＝0⇒x1x2＋y1y2＝0.[例2](1)[2018·全国卷Ⅲ]已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________；(2)[2019·江西南昌二中期末]已知向量AB→＝a＋3b，BC→＝5a＋3b，CD→＝－3a＋3b，则()A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线【解析】(1)2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝12.(2)∵CD→＝－3a＋3b，BC→＝5a＋3b，∴BD→＝CD→＋BC→＝2a＋6b，又AB→＝a＋3b，∴AB→＝12BD→，∴AB→∥BD→，∴A，B，D三点共线．故选B.【答案】(1)12(2)B共线向量定理的应用(1)证明向量共线，对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．(2)证明三点共线，若存在实数λ，使AB→＝λAC→，则A，B，C三点共线．(3)求参数的值，利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．[提醒]证明三点共线时，要说明共线的两向量有公共点.『对接训练』3．[2019·河北六校第三次联考]已知向量a＝(2＋sinx,1)，b＝(2，－2)，c＝(sinx－3,1)，d＝(1，k)，x∈R，k∈R.(1)若x∈－π2，π2，且a∥(b＋c)，求x的值；(2)是否存在实数k，使得(a＋d)⊥(b＋c)？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．解析：(1)b＋c＝(sinx－1，－1)，因为a∥(b＋c)，所以－(2＋sinx)＝sinx－1，即sinx＝－12.又x∈－π2，π2，所以x＝－π6.(2)a＋d＝(3＋sinx,1＋k)，b＋c＝(sinx－1，－1)，若(a＋d)⊥(b＋c)，则(a＋d)·(b＋c)＝0，即(3＋sinx)(sinx－1)－(1＋k)＝0，所以k＝sin2x＋2sinx－4＝(sinx＋1)2－5，由sinx∈[－1,1]，可得k∈[－5，－1]，所以存在k∈[－5，－1]，使得(a＋d)⊥(b＋c)．考点3向量的数量积1．平面向量的数量积有两种运算形式：(1)数量积的定义：a·b＝|a||b|cosθ(其中θ为向量a，b的夹角)；(2)坐标运算：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)时，a·b＝x1x2＋y1y2.2．平面向量的三个性质(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.[例3](1)[2019·全国卷Ⅱ]已知AB→＝(2,3)，AC→＝(3，t)，|BC→|＝1，则AB→·BC→＝()A．－3B．－2C．2D．3(2)[2019·全国卷Ⅲ]已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－5b，则cos〈a，c〉＝________.【解析】(1)本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算，意在考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．因为BC→＝AC→－AB→＝(1，t－3)，所以|BC→|＝1＋t－32＝1，解得t＝3，所以BC→＝(1,0)，所以AB→·BC→＝2×1＋3×0＝2，故选C.(2)本题主要考查平面向量的数量积，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．设a＝(1,0)，b＝(0,1)，则c＝(2，－5)，所以cos〈a，c〉＝21×4＋5＝23.【答案】(1)C(2)231．一般地，用向量方法解决模的问题的途径有三：一是利用公式|a|2＝a2，将模的平方转化为数量积问题；二是利用模的几何意义；三是坐标法．解决向量的夹角问题主要是利用公式“cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|”将向量的夹角问题转化为数量积及模的问题来解决．2．求解向量数量积最值问题的两种思路(1)直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．(2)建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值.『对接训练』4．[2019·河北衡水中学三调]在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BD→＝12BC→，则AD→·BD→＝()A．－52B.52C．－54D.54解析：∵BD→＝12BC→，∴AD→－AB→＝12(AC→－AB→)，∴AD→＝12AC→＋12AB→.又BC→＝AC→－AB→，∴BD→＝AC→－AB→2，∴AD→·BD→＝AC→2－AB→24＝－54.故选C.答案：C5．[2019·河南中原名校指导卷]已知平面向量a＝(－1,2)，b＝(1,3)，c＝2a－b，则向量c在向量a方向上的投影为()A.55B.5C．22D．3解析：∵a＝(－1,2)，b＝(1,3)，∴|a|＝5，c＝2a－b＝(－3，1)，∴a·c＝5，∴向量c在向量a方向上的投影为55＝5.故选B.答案：B