2020版八年级数学下册 第一章 三角形的证明 1.2 直角三角形（第2课时）课件 （新版）北师大版

2直角三角形第2课时【知识再现】三角形全等的判定方法:SSS,__________,ASA,________.SASAAS【新知预习】阅读教材P18-19,回答下列问题探究:“HL”定理.已知:如图,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,AB=A′B′,BC=B′C′.求证:Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.证明:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∴AC2=AB2-BC2(______________).同理,A′C′2=A′B′2-B′C′2(_____________).∵AB=A′B′,BC=B′C′,∴AC=A′C′.∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(________).勾股定理勾股定理SSS归纳:(1)斜边、直角边定理(HL):______________________分别相等的两个直角三角形全等.(2)符号语言:如图,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,斜边和一条直角边∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)ABABBCBC，，(3)判断两个三角形全等的方法:①________________、②边角边(SAS)、③______________、④角边角(ASA)、⑤_____________________.边边边(SSS)角角边(AAS)斜边、直角边(HL)【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧!1.下列可使两个直角三角形全等的条件是()A.一条边对应相等B.两条直角边对应相等C.一个锐角对应相等D.两个锐角对应相等B2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=4,则下列各图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是()A3.如图,MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D,B,C分别在直线MN和PQ上,点E在AB上,AD+BC=7,AD=EB,DE=EC,则AB=______.7知识点一斜边、直角边定理(HL)【典例1】如图,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=90°,AC=BD,AC与BD相交于点O.(1)求证:△ABC≌△DCB.(2)△OBC是何种三角形?证明你的结论.【规范解答】(1)在Rt△ABC和Rt△DCB中,∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL).……………………直角三角形全等的判定BCBCACBD，，(2)△OBC是等腰三角形.理由是:∵Rt△ABC≌Rt△DCB,∴∠ACB=∠DBC,………………………………全等三角形对应角相等∴OB=OC,…………等角对等边∴△OBC是等腰三角形.【学霸提醒】直角三角形全等应用的思路1.由题目已知中的垂直或直角找出两个直角三角形.2.分析条件,证明两个直角三角形全等.3.由全等三角形的性质得角或线段的相等关系.【题组训练】1.如图,AB⊥BC于点B,AD⊥DC于点D,若CB=CD,且∠1=30°,则∠BAD的度数是()A.90°B.60°C.30°D.15°B★2.如图,BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF,则还需要添加一个条件是()A.AE=DFB.∠A=∠DC.∠B=∠CD.AB=DCD★★3.如图,已知△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且EC⊥AC于点C,AE=BF.试判断AE和BF的位置关系,并说明理由.世纪金榜导学号解:AE⊥BF,理由如下:∵AE=BF,AB=AC,∴Rt△ABF≌Rt△CAE(HL),∴∠CAE=∠ABF,∵∠ABF+∠AFB=90°,∴∠CAE+∠AFB=90°,∴∠ADF=90°,即AE⊥BF.知识点二直角三角形全等的判定方法【典例2】如图,AB=12,CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B,且AC=4m,P点从B向A运动,每分钟走1m,Q点从B向D运动,每分钟走2m,P,Q两点同时出发,运动分钟后△CAP与△PQB全等.【规范解答】∵CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B,∴∠A=∠B=90°,…………垂直定义设运动x分钟后△CAP与△PQB全等;则BP=xm,BQ=2xm,则AP=(12-x)m,………………………………未知量设法分两种情况:………………………………分类思想①若BP=AC,则x=4,AP=12-4=8,BQ=8,AP=BQ,…………线段和差运算∴△CAP≌△PBQ;…………全等三角形判定②若BP=AP,则12-x=x,解得:x=6,BQ=12≠AC,此时△CAP与△PQB不全等;综上所述:运动4分钟后△CAP与△PQB全等.答案:4【题组训练】1.(2019·广州海珠区模拟)下列判断一定正确的是()A.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等B.有一个角和一边对应相等的两个直角三角形全等AC.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等D.有两边对应相等,且有一个角为30°的两个等腰三角形全等★2.如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,BD和CE交于点O,AO的延长线交BC于点F,则图中全等的直角三角形有世纪金榜导学号()A.4对B.5对C.6对D.7对C★3.如图,已知AB⊥CD,垂足为B,DE⊥AC,若想判定△ABC≌△DBE,则需要添加的一个条件是___________________________.世纪金榜导学号DB=AB(或DE=AC或BE=BC)★★4.如图:AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°,EF过点C,BE⊥EF于E,DF⊥EF于F,BE=DF.求证:Rt△BCE≌Rt△DCF.世纪金榜导学号证明:连接BD,∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB,∵∠ABC=∠ADC=90°,∴∠CBD=∠CDB,∴BC=DC,∵BE⊥EF,DF⊥EF,∴∠E=∠F=90°,在Rt△BCE和Rt△DCF中,∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL).BCDCBEDF，，【火眼金睛】已知,如图,在△ABC中,DE⊥AB,DF⊥AC,且DE=DF,求证:AD平分∠BAC.正解:∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠AED=∠AFD=90°,在Rt△AED与Rt△AFD中,AD=AD,DE=DF,∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),∴∠DAE=∠DAF,∴AD平分∠BAC.【一题多变】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线MN经过点A,过点B作BD⊥MN于点D,过点C作CE⊥MN于点E.(1)求证:△ABD≌△CAE.(2)若BD=12cm,DE=20cm,求CE的长度.解:(1)∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAD=90°,又∵BD⊥MN,CE⊥MN,∴∠BDA=∠AEC=90°,∠CAD+∠ACE=90°,∴∠BAD=∠ACE,又AB=AC,在△ABD和△CAE中,∴△ABD≌△CAE(AAS).BDAAECBADACEABCA，，，(2)∵△ABD≌△CAE,∴BD=AE,AD=CE,∵BD=12cm,DE=20cm,∴AE=12cm,AD=AE+DE=12cm+20cm=32cm,∴CE=32cm.【母题变式】【变式一】如图(1),在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,DE是过A的一条直线,且点B,C在DE的同侧,BD⊥DE于D点,CE⊥DE于E点,(1)求证:AD=CE.世纪金榜导学号(2)求证:DE=CE+BD.(3)若直线DE绕A点旋转到图(2)位置时,其余条件不变,问BD,DE,CE之间的数量关系如何?请说明理由.略【变式二】在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E.(1)若B,C在DE的同侧(如图1所示)且AD=CE.求证:AB⊥AC.(2)若B,C在DE的两侧(如图2所示),其他条件不变,AB与AC仍垂直吗?若是请给出证明;若不是,请说明理由.解:(1)∵BD⊥DE,CE⊥DE,∴∠ADB=∠AEC=90°,在Rt△ABD和Rt△ACE中,∵AB=AC,AD=CE,∴Rt△ABD≌Rt△CAE.∴∠DAB=∠ECA,∵∠DAB+∠DBA=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°.∠BAC=180°-(∠BAD+∠CAE)=90°.∴AB⊥AC.(2)AB⊥AC.证明如下:同(1)一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE.∴∠DAB=∠ECA,∵∠CAE+∠ECA=90°,∴∠CAE+∠BAD=90°,即∠BAC=90°,∴AB⊥AC.