2020-2021学年高中数学 第四章 圆与方程 4.1.2 圆的一般方程课件 新人教A版必修2

4.1.2圆的一般方程1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形方程x2+y2+Dx+Ey+F=0变为:2222DEDE4F(x)(y),224(1)当D2+E2-4F0时,方程表示圆,圆心为半径为(2)当D2+E2-4F=0时,方程表示点.(3)当D2+E2-4F0时,方程不表示任何图形.DE(,),22221DE4F.2DE(,)22【思考】方程x2+y2+Dx+Ey+F=0都表示圆吗?提示:不一定,当D2+E2-4F0时才表示圆.2.圆的一般方程当D2+E2-4F0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程.【思考】(1)圆的一般方程有什么特征?提示:(1)x2和y2的系数相同且不为0;(2)没有xy项.(2)如果点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0内,那么应满足什么关系式?圆外呢?提示:若点P在圆内,则+Dx0+Ey0+F0;若点P在圆外,则+Dx0+Ey0+F0.2200xy2200xy【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)圆的标准方程与一般方程可以互化.()(2)方程2x2+2y2-3x=0不是圆的一般方程.()(3)方程x2+y2-x+y+1=0表示圆.()提示:(1)√.圆的标准方程与一般方程可以互化.(2)×.方程2x2+2y2-3x=0即x2+y2-x=0,是圆的一般方程.(3)×.因为(-1)2+12-4×1=-20,所以方程不表示任何图形.322.圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心和半径分别为()A.圆心的坐标为(-1,-2),半径r=B.圆心的坐标为(-1,-2),半径r=1C.圆心的坐标为(1,2),半径r=D.圆心的坐标为(1,2),半径r=155【解析】选D.圆C:x2+y2-2x-4y+4=0,即圆C:(x-1)2+(y-2)2=1,表示以(1,2)为圆心,半径等于1的圆.3.若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则实数k的取值范围是()A.(-∞,1)B.(-∞,1]C.[1,+∞)D.R【解析】选A.由方程x2+y2-4x+2y+5k=0,可得(x-2)2+(y+1)2=5-5k,此方程表示圆,则5-5k0,解得k1,故实数k的取值范围是(-∞,1).类型一二元二次方程与圆的关系【典例】1.(2019·赤峰高一检测)方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示的图形是()A.一个点B.一个圆C.一条直线D.不存在2.(2019·武昌高一检测)圆C:2x2+2y2+ax-4y-3=0的直径为,则圆C的圆心坐标可以是()A.B.C.(3,2)D.(-3,2)193(,1)23(,1)23.若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则a=________.【思维·引】1.将方程配方,观察方程表示什么图形.2.将圆的方程变为标准形式,表示出直径后求a的值.3.根据圆的一般方程中x,y的系数特征,D2+E2-4F的符号求值.【解析】1.选A.方程2x2+2y2-4x+8y+10=0,可化为x2+y2-2x+4y+5=0,即(x-1)2+(y+2)2=0,所以方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示点(1,-2).2.选A.圆C:2x2+2y2+ax-4y-3=0,即+(y-1)2=,圆心为,因为直径为,得=,a=±6,故圆心为3.若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则解得a=-1.答案:-12a(x)42a4016a(,1)4192a40216193(1).2，22aa20,2a4a()0a2a2＞，【内化·悟】由圆的一般方程,怎样求圆的圆心、半径?提示:将圆的一般方程配方,变形为标准形式后求圆心、半径.【类题·通】方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的两种判断方法(1)配方法.对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后,观察是否表示圆.(2)运用圆的一般方程的判断方法求解.即通过判断D2+E2-4F是否为正,确定它是否表示圆.提醒:在利用D2+E2-4F0来判断二元二次方程是否表示圆时,务必注意x2及y2的系数.【习练·破】1.(2019·青岛高一检测)方程x2+y2-ax+2y+1=0不能表示圆,则实数a的值为()A.0B.1C.-1D.2【解析】选A.方程x2+y2-ax+2y+1=0转换为标准方程是+(y+1)2=,由于该方程不能表示圆,故a=0.2a(x)22a42.方程x2+y2-ax+by+c=0表示圆心为(1,2),半径为1的圆,则a,b,c的值依次为()A.-2,-4,4B.2,-4,4C.2,-4,-4D.-2,4,-4【解析】选B.根据题意,圆心为(1,2),半径为1的圆,则解得:22a1,2b2,21ab4c14，a2 b4?c4.，，【加练·固】若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求:(1)实数m的取值范围.(2)圆心坐标和半径.【解析】(1)据题意知D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)0,即4m2+4-4m2-20m0,解得m,故m的取值范围为.151()5，(2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0写成标准方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m,故圆心坐标为(-m,1),半径r=.15m类型二待定系数法求圆的方程【典例】已知三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7),求△ABC外接圆的方程.【思维·引】设出圆的一般方程,列方程组求系数.【解析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2-4F0),圆过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7),可得解方程可得即圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.10D3EF0,204D2EF0,50D7EF0，D2?E4 F20，，，【内化·悟】圆有标准方程、一般方程两种形式,本例中设哪一种形式解题更为简便?提示:设一般方程解题更简便.【类题·通】待定系数法求圆的一般方程的步骤(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.(2)根据已知条件,建立关于D,E,F的方程组.(3)解此方程组,求出D,E,F的值.(4)将所得的值代回所设的圆的方程中,就得到所求的圆的一般方程.【习练·破】经过三点A(-1,0),B(3,0),C(1,2)的圆与y轴交于M,N两点,则|MN|=()A.2B.2C.3D.432【解析】选A.设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆经过点A(-1,0),B(3,0),C(1,2),故解得故圆的方程为x2+y2-2x-3=0,整理得(x-1)2+y2=4,令x=0,得y2=3,所以y=±,所以|MN|=2.1DF0,93DF0,14D2EF0，D2,?E0,F3，33【加练·固】已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1),求△ABC的外接圆的方程.【解题指南】先设出圆的一般方程,根据点在圆上列方程组,解方程组求出待定系数,得外接圆方程.【解析】设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由题意得解得即△ABC的外接圆方程为x2+y2-8x-2y+12=0.222222222D2EF0,535D3EF0,3(1)3DEF0.－－D8,E2,F12.－－类型三求动点的轨迹方程角度1代入法求方程【典例】(2019·朝阳高一检测)已知动点A在圆x2+y2=1上移动,点B(3,0),则AB的中点的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1C.+y2=D.+y2=23(x)21423(x)212【思维·引】利用要求的中点坐标表示点A的坐标,代入圆的方程.【解析】选C.设A(x0,y0),AB的中点的坐标为(x,y),由中点坐标公式得即因为动点A在圆x2+y2=1上移动,所以=1.则(2x-3)2+(2y)2=1,整理得:(2x-3)2+4y2=1.即00x32x,y2y,00x2x3,y2y．2200xy2231(x)y.24【素养·探】利用代入法求轨迹时,常常用到核心素养中的数学运算和数据分析,通过坐标表示,代入化简、变形求出动点的轨迹方程.将本例的条件改为“过点A作x轴的垂线,垂足为C,点P在线段AC上,且2|AP|=|PC|”,求点P的轨迹方程.【解析】设A(x0,y0),点P的坐标为(x,y),因为点P在线段AC上,且2|AP|=|PC|,所以则因为点A在圆x2+y2=1上,所以x2+y2=1.00xx2yy3，，00xx3yy2，，94角度2定义法求方程【典例】已知圆x2+y2=1,点A(1,0),△ABC内接于圆,且∠BAC=60°,当B,C在圆上运动时,BC中点D的轨迹方程是()A.x2+y2=B.x2+y2=C.x2+y2=D.x2+y2=121411(x)22＜11(x)44＜【思维·引】利用圆周角与圆心角的关系,求出BC中点到原点的距离,从而确定轨迹及方程.【解析】选D.如图所示,因为∠BAC=60°,又因为圆周角等于圆心角的一半,所以∠BOC=120°,又D为BC中点,OB=OC,所以∠BOD=60°,在直角三角形BOD中,有OD=OB=,故中点D的轨迹方程是:x2+y2=,如图,由∠BAC的极限位置可得,x.12121414【类题·通】求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法:根据圆、直线等定义列方程.(3)代入法:若动点P(x,y)依赖圆上的某一个动点Q(x0,y0)而运动,找到两点的关系,把x,y用x0,y0表示,再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中得P点的轨迹方程.提醒:注意“求轨迹”与“求轨迹方程”是不同的.【习练·破】长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,则线段AB的中点M的轨迹方程为________.【解析】设M(x,y),因为△AOB是直角三角形,所以|OM|=|AB|=3为定值,故M的轨迹为以O为圆心,3为半径的圆,故x2+y2=9即为所求.答案:x2+y2=912【加练·固】点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1【解析】选A.设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),则解得因为点Q在圆x2+y2=4上,所以=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,即(x-2)2+(y+1)2=1.004xx,22yy.200x2x4,?y2y2.2200xy＋