2020-2021学年高中数学 第三章 不等式 4 简单线性规划 第1课时 二元一次不等式（组）与平

第三章不等式§4简单线性规划第1课时二元一次不等式(组)与平面区域自主预习学案景泰蓝是我国古老而又令多数人喜欢的手工艺品，它制作的关键一步是在制好的铜胎上用扁铜丝依据图案要求把铜胎表面划分为若干个小的区域，例如一片树叶需要两条铜丝围成树叶形的封闭区域，一个三角形需要三条直线形铜丝围成一个封闭区域，……铜丝有直有曲，有长有短，区域形状各异．然后再经“点蓝”等工艺就可制作成功．在制作过程中，几条铜丝便可围成一个区域，在平面上，直线如何围成一个区域呢？1．二元一次不等式(组)的概念二元一次不等式是指含有__________未知数，且未知数的最高次数为__________的不等式．二元一次不等式组是指由几个总共含有两个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式构成的不等式组．2．二元一次不等式(组)表示的平面区域一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分为三部分：(1)直线l上的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＝0.(2)直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c0.两个1(x0，y0)(3)直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c0.所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点__________，从__________值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．在这里，直线l：ax＋by＋c＝0叫作这两个平面区域的边界．一般地，把直线l：ax＋by＋c＝0画成__________，表示平面区域包括这一条边界直线；若把直线l：ax＋by＋c＝0画成__________，则表示平面区域不包括这一条边界直线．ax0＋by0＋c实线虚线3．直线两侧的点的坐标满足的条件直线l：ax＋by＋c＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，直线l的同一侧的点的坐标使式子ax＋by＋c的值具有__________的符号，并且两侧的点的坐标使ax＋by＋c的值的符号__________，一侧都__________，另一侧都__________.4．二元一次不等式表示区域的确定在直线l的某一侧任取一点，检测其坐标是否满足二元一次不等式，如果满足，则该点____________________区域就是所求的区域；否则l的__________就是所求的区域．如果直线不过__________，则用__________的坐标来进行判断，比较方便．相同相反大于0小于0所在的这一侧另一侧原点原点1．下列4个点中，不在3x＋2y6表示的平面区域内的点是()A．(0,2)B．(0,0)C．(1,1)D．(2,0)[解析]3×2＋2×06不成立，故选D．DB2．下图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是()A．x＋y－10B．x＋y－10C．x－y－10D．x－y－10[解析]边界所在的直线为x＋y－1＝0，取点O(0,0)，代入得－10，则不等式x＋y－10表示图中阴影部分．A3．不等式组y＜xx＋y≤1y≥3表示的区域为D，点P1(0，－2)，点P2(0,0)，则()A．P1∉D，P2∉DB．P1∉D，P2∈DC．P1∈D，P2∉DD．P1∈D，P2∈D[解析]P1点不满足y≥3，P2点不满足y＜x，∴选A．A4．表示图中阴影部分的区域的二元一次不等式组为()A．x＋y－1≥0x－2y＋2≥0B．x＋y－1≤0x－2y＋2≤0C．x＋y－1≥0x－2y＋2≤0D．x＋y－1≤0x－2y＋2≥0[解析]取原点0(0,0)检验满足x＋y－1≤0，故异侧点应为x＋y－1≥0排除B、D，O点满足x－2y＋2≥0，排除C．故选A．5．若点P(a,3)在2x＋y3表示的平面区域内，则实数a的取值范围是__________.[解析]点P(a,3)在2x＋y3表示的平面区域内，则2a＋33，解得a0.(－∞，0)互动探究学案命题方向1⇨二元一次不等式表示的平面区域画出下列不等式表示的平面区域．(1)2x＋y－100；(2)y≤－2x＋3.[分析]对于(1)，先画出直线2x＋y－10＝0(用虚线表示)，再取坐标原点(0,0)代入检验，从而判断出2x＋y－100表示的平面区域．对于(2)，先把y≤－2x＋3变形为2x＋y－3≤0的形式，再画出直线2x＋y－3＝0(用实线表示)，取原点(0,0)代入检验，从而判断出2x＋y－3≤0表示的平面区域．例题1[解析](1)先画出直线2x＋y－10＝0(画成虚线)，取点(0,0)，代入2x＋y－10，得2×0＋0－10＝－100，∴2x＋y－100表示的平面区域是直线2x＋y－10＝0的左下方的平面区域，如图(1)所示．(2)将y≤－2x＋3变形为2x＋y－3≤0.先画出直线2x＋y－3＝0(画成实线)．取点(0,0)，代入2x＋y－3，得2×0＋0－3＝－30，∴2x＋y－3≤0表示的平面区域是直线2x＋y－3＝0以及其左下方的平面区域，如图(2)所示．『规律总结』画二元一次不等式所表示的平面区域的一般步骤为：(1)“直线定界”，即画出边界Ax＋By＋C＝0，要注意是虚线还是实线．(2)“特殊点定域”，取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号确定出所求不等式表示的平面区域．当C≠0时，通常取原点(0,0)作为测试点．〔跟踪练习1〕画出不等式x＋2y－4＜0表示的平面区域．[解析]先画直线x＋2y－4＝0(画成虚线)．把原点(0,0)的坐标代入x＋2y－4，则0＋2×0－4＝－4＜0，所以原点在x＋2y－4＜0表示的平面区域内，所以不等式x＋2y－4＜0表示的区域如图所示中的阴影部分．命题方向2⇨二元一次不等式组表示的平面区域例题2用平面区域表示下列不等式组．(1)x≥y，3x＋4y－120；(2)x－y＋5≥0x＋y≥0x≤3.[分析]先画出每个不等式所表示的平面区域，再取公共部分．[解析](1)作直线x＝y，画为实线，取直线右下方区域；作直线3x＋4y－12＝0，画为虚线，取直线左下方区域，取两区域的公共部分，如图：(2)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0及其右下方的平面区域，x＋y≥0表示直线x＋y＝0及其右上方的平面区域，x≤3表示直线x＝3及其左侧的平面区域，所以不等式组x－y＋5≥0x＋y≥0x≤3，表示的平面区域如图所示．『规律总结』二元一次不等式组表示的平面区域是它的各个不等式所表示的平面区域的公共部分，注意边界是实线还是虚线．对每一个不等式表示的平面区域都必须作出正确的判断，最后取交集．〔跟踪练习2〕把本例(1)中不等式组改为“(x－y)(3x＋4y－12)0”试画出平面区域．[解析]不等式等价于x－y0，3x＋4y－120，或x－y0，3x＋4y－120，画出所表示的平面区域如图所示．命题方向3⇨求平面区域的面积例题3不等式组x＋y－2≥0x＋2y－4≤0x＋3y－2≥0表示的平面区域的面积为__________.4[解析]本题考查了线性平面区域表示及其面积求法．画出可行域如图．由x＋3y－2＝0x＋2y－4＝0得A(8，－2)∴三角形面积S＝12×2×2＋12×2×|－2|＝4.画可行域的办法是“直线定界，特殊点定域”．『规律总结』不能正确表示不等式组所表示的平面区域是常犯的错误．这类问题作出所表示的平面区域是前提，利用直线的斜率及纵截距的几何意义是解题的关键．〔跟踪练习3〕画出不等式组x－y＋6≥0x＋y≥0x≤3所表示的平面区域，并求出平面区域的面积．[解析]先画出直线x－y＋6＝0(画成实线)，不等式x－y＋6≥0表示直线x－y＋6＝0及其右下方的平面区域．画出直线x＋y＝0(画成实线)，不等式x＋y≥0表示直线x＋y＝0及其右上方的平面区域．画出直线x＝3(画成实线)，不等式x≤3表示直线x＝3及其左侧的平面区域．所以原不等式组所表示的平面区域如图所示．因此其区域面积即为△ABC的面积．由于直线x－y＋6＝0与直线x＋y＝0垂直，所以△ABC为直角三角形．由x＝3x＋y＝0，得B(3，－3)．由x＝3x－y＋6＝0得C(3,9)．由x＋y＝0x－y＋6＝0得A(－3,3)．所以|AB|＝62，|AC|＝62，所以S△ABC＝12|AB|·|AC|＝12×62×62＝36，所以原不等式组表示的平面区域的面积为36.命题方向4⇨求范围问题例题4已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)，如图所示．(1)写出表示区域D的不等式组；(2)若点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．[分析]由二元一次不等式组所表示的区域写出相应的不等式组，这本身就是一种创新，其求解过程与画出二元一次不等式组的过程正好互逆．另外，在第(2)问中由B，C两点位于直线4x－3y－a＝0的异侧，可知将B，C两点坐标代入代数式4x－3y－a所得的值的符号正好相反．[解析](1)由A(4,1)、B(－1，－6)、C(－3,2)，得直线AB、AC、BC的方程分别为7x－5y－23＝0、x＋7y－11＝0、4x＋y＋10＝0.原点(0,0)在区域D内，所以表示区域D的不等式组为7x－5y－23≤0x＋7y－11≤04x＋y＋10≥0.(2)将B、C的坐标分别代入4x－3y－a，得4×(－1)－3×(－6)－a＝14－a,4×(－3)－3×2－a＝－18－a.由题意，知(14－a)(－18－a)0，解得a的取值范围是－18a14.『规律总结』点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C同号；在异侧的充要条件是Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C异号．〔跟踪练习4〕若点(3,1)和(4，－6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是()A．(－24,7)B．(7,24)C．(－7,24)D．(－24，－7)[解析]把点(3,1)和(4，－6)分别代入3x－2y＋a得7＋a,24＋a，由题意得(7＋a)(24＋a)0.∴－24a－7.D命题方向5⇨二元一次不等式组表示实际问题某工厂生产甲、乙两种产品，需经过制造和装配两个车间．已知制造车间生产1件甲产品需4小时，生产1件乙产品需3小时，总有效工时为480小时；装配车间生产1件甲产品需2小时，生产1件乙产品需5小时，总有效工时为500小时．若工厂安排生产x件甲产品，y件乙产品，试列出x，y满足的关系，并画出图形．例题5[分析]将已知数据列成下表：加工时间(小时/件)甲乙总有效工时(小时)制造43480车间装配25500[解析]依题意，可列出下面的条件：4x＋3y≤4802x＋5y≤500x，y∈N＋，可行域为如图所示阴影部分(不含坐标轴)内的整点．『规律总结』用二元一次不等式(组)表示的平面区域来表示实际问题时，可先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示，进而问题中所有的量都用这两个字母表示出来，再由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量的实际意义写出所有的不等式，再把由这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来即可．〔跟踪练习5〕某家具厂计划每天生产桌椅的数量各不少于12，已知生产一张桌子需用木材0.3方，生产一把椅子需要用木材0.2方，每个工人每天能生产一张桌子或2把椅子，木材每天供应量为12方，工人人数最多时为30人，请你用图形表示每天生产的桌椅数量的取值范围．[分析]设出桌椅数量x、y，把x、y的限制条件列成不等式组，把不等式组表示的区域画出就是所要求的每天生产桌椅数量的取值范围．[解析]设每天生产桌子x张，椅子y把，由题意得x≥12，y≥12，0.3x＋0.2y≤12x＋y2≤30x，y∈N，由不等式组画出区域如图阴影部分．(x，y)的取值范围即图中阴影部分