2020-2021学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.1 直线与平面平行的判

2.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定2.2.2平面与平面平行的判定1.直线与平面平行的判定定理语言叙述符号表示图形表示平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行【思考】(1)直线与平面平行的判定定理中“平面外”可以去掉吗?试画图举例说明.提示:如图所示,a∥b,b⊂α,但是a与α不平行,实际上a⊂α.(2)直线与平面平行的判定定理的本质是将直线与平面平行转化为什么?提示:直线与平面平行转化为直线与直线平行.2.平面与平面平行的判定定理语言叙述符号表示图形表示一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行【思考】如果把定理中的“相交”去掉,这两个平面是否一定平行,为什么?提示:不一定平行.如果不是两条相交直线,即使在一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,也不能判定这两个平面平行,这是因为在两个相交平面的一个平面内,可以画出无数条直线与交线平行,显然这无数条直线都与另一个平面平行,但这两个平面不平行.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α.()(2)三角板的两条边所在直线分别与平面α平行,这个三角板所在平面与平面α平行.()(3)平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行,则α∥β.()提示:(1)×.若直线a与平面α内无数条直线平行,则这条直线可能在这个平面内,也可能与这个平面平行,所以该命题错误.(2)√.三角板的两条边所在直线是相交的,根据平面与平面平行的判定定理可知此说法正确.(3)×.若平行四边形的两边是对边,则互相平行不相交,无法推出α∥β.2.在长方体ABCD-A′B′C′D′中,下列正确的是()A.平面ABCD∥平面ABB′A′B.平面ABCD∥平面ADD′A′C.平面ABCD∥平面CDD′C′D.平面ABCD∥平面A′B′C′D′【解析】选D.由长方体可以知道,平面ABCD∩平面ABB′A′=AB,所以A不正确;平面ABCD∩平面ADD′A′=AD,所以B不正确;平面ABCD∩平面CDD′C′=CD,所以C不正确;平面ABCD与平面A′B′C′D′是相对平面,正确.所以D选项是正确的.3.如图,空间四边形ABCD中,若M,N,P分别是AB,BC,CD的中点,则与MN平行的平面是________,与NP平行的平面是________.【解析】因为M,N分别是AB,BC的中点,所以MN∥AC,又MN⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,所以MN∥平面ACD,同理可证NP∥平面ABD.答案:平面ACD平面ABD类型一直线与平面平行的判定【典例】1.平面α与△ABC的两边AB,AC分别交于D,E,且,如图所示,则BC与平面α的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.BC⊂αADAEDBEC2.(2019·济南高一检测)如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点.(1)求证:PQ∥平面DCC1D1.(2)求证:EF∥平面BB1D1D.【思维·引】1.由可以推出ED∥BC.2.(1)充分借助于P,Q为中点这一条件,用三角形中位线的性质证明直线与直线平行.(2)要证明EF∥平面BB1D1D,需要在平面BB1D1D内找到与EF平行的直线,此直线与EF构成平行四边形.ADAEDBEC【解析】1.选A.因为,所以ED∥BC,又DE⊂α,BC⊄α,所以BC∥α.ADAEDBEC2.(1)连接AC,D1C,因为四边形ABCD是正方形,所以Q是AC的中点,又P是AD1的中点,所以PQ∥D1C,因为PQ⊄平面DCC1D1,D1C⊂平面DCC1D1,所以PQ∥平面DCC1D1.(2)连接D1Q,QE,因为Q,E分别是BD,BC的中点,所以QE∥DC,QE=DC,因为F是C1D1的中点,四边形DCC1D1是正方形,所以D1F∥DC,D1F=DC,所以QE∥D1F,QE=D1F,1212所以四边形QEFD1是平行四边形,所以EF∥QD1,因为EF⊄平面BB1D1D,QD1⊂平面BB1D1D,所以EF∥平面BB1D1D.【内化·悟】直观图中直线与直线的平行关系有变化吗?据此通常如何作辅助线寻找平面内与已知直线平行的直线?提示:不变.通常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理作辅助线,证明直线与直线平行.【类题·通】应用判定定理证明线面平行的步骤上面的第一步“找”是证题的关键,其常用方法有:①空间直线平行关系的传递性法;②三角形中位线法;③平行四边形法;④成比例线段法.提醒:线面平行判定定理应用的误区(1)条件罗列不全,最易忘记的条件是“直线在平面外”.(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线.【习练·破】如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:EF∥平面ABC.【证明】在平面ABD中,AB⊥AD,EF⊥AD,所以AB∥EF,又AB⊂平面ABC,且EF⊄平面ABC,所以EF∥平面ABC.【加练·固】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S,E,G分别是B1D1,BC,SC的中点.求证:直线EG∥平面BDD1B1.【解析】如图所示,连接SB.因为E,G分别是BC,SC的中点,所以EG∥SB.又因为SB⊂平面BDD1B1,EG⊄平面BDD1B1,所以直线EG∥平面BDD1B1.类型二平面与平面平行的判定【典例】1.下列四个正方体图形中,A,B,C为正方体所在棱的中点,则能得出平面ABC∥平面DEF的是()2.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形,E,F,H分别为AB,CD,PD的中点.求证:平面AFH∥平面PCE.【思维·引】1.看哪几个选项中的两个平面是相交的,不容易看出相交的选项中有哪些直线与直线平行.2.为证平面AFH∥平面PCE,在矩形ABCD中,AF∥CE,在△PCD中,FH∥PC.【解析】1.选B.A中,易作出过点D与BC平行的直线,此直线与平面DEF相交,故BC与平面DEF相交,排除A;B中,可证AB∥DE,BC∥DF,故可以证明AB∥平面DEF,BC∥平面DEF.又AB∩BC=B,所以平面ABC∥平面DEF.C中,易证BC与平面DEF相交,所以平面ABC与平面DEF不平行;D中,易证AB与平面DEF相交,所以平面ABC与平面DEF不平行.2.因为F为CD的中点,H为PD的中点,所以FH∥PC,且FH⊄平面PCE,所以FH∥平面PCE.又AE∥CF且AE=CF,所以四边形AECF为平行四边形,所以AF∥CE,且AF⊄平面PCE，所以AF∥平面PCE.由FH⊂平面AFH,AF⊂平面AFH,FH∩AF=F,所以平面AFH∥平面PCE.【素养·探】在与平面与平面平行的判定有关的问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,通过研究平面与平面平行的判定,形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维习惯和交流能力.将本例2的条件“E,F,H分别为AB,CD,PD的中点”改为“点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD”,其他条件不变,求证:平面MNQ∥平面PBC.【证明】因为PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,所以MQ∥AD,NQ∥BP.因为BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC,所以NQ∥平面PBC.又因为底面ABCD为平行四边形,所以BC∥AD,所以MQ∥BC.因为BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC,所以MQ∥平面PBC.又因为MQ∩NQ=Q,所以根据平面与平面平行的判定定理,得平面MNQ∥平面PBC.【类题·通】平面与平面平行的判定方法(1)定义法:两个平面没有公共点.(2)判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.(3)转化为线线平行:平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行,则α∥β.(4)利用平面平行的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ.【习练·破】如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是平行四边形,点G和点H分别是CE和CF的中点.求证:平面BDGH∥平面AEF.【证明】在△CEF中,因为G,H分别是CE,CF的中点,所以GH∥EF,又因为GH⊄平面AEF,EF⊂平面AEF,所以GH∥平面AEF.设AC∩BD=O,连接OH,在△ACF中,因为OA=OC,CH=HF,所以OH∥AF,又因为OH⊄平面AEF,AF⊂平面AEF,所以OH∥平面AEF.又因为OH∩GH=H,OH,GH⊂平面BDGH,所以平面BDGH∥平面AEF.【加练·固】如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面.(2)平面EFA1∥平面BCHG.【证明】(1)因为G,H分别是A1B1,A1C1的中点,所以GH是△A1B1C1的中位线,所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC,所以GH∥BC,所以B,C,H,G四点共面.(2)因为E,F分别是AB,AC的中点,所以EF∥BC.因为EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,所以EF∥平面BCHG.因为A1G􀱀EB,所以四边形A1EBG是平行四边形,所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF=E,所以平面EFA1∥平面BCHG.类型三与平行有关的存在性问题【典例】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,在CC1上是否存在点Q使得平面D1BQ∥平面PAO?若存在,说明点Q的位置;若不存在,说明理由.【思维·引】点Q在CC1上运动时,平面D1BQ中,D1B与平面PAO平行,点Q是CC1的中点时,QB∥平面PAO.【解析】存在.当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.理由如下:因为Q为CC1的中点,P为DD1的中点,所以易知QB∥PA.而QB⊄平面PAO,PA⊂平面PAO,所以QB∥平面PAO.连接DB,因为P,O分别为DD1,DB的中点,所以PO为△DBD1的中位线,所以D1B∥PO.而D1B⊄平面PAO,PO⊂平面PAO,所以D1B∥平面PAO.又D1B∩QB=B,所以平面D1BQ∥平面PAO.【内化·悟】解决与平行有关的存在性问题的切入点是什么?提示:结合平行直线以及线段的特殊点如几等分点进行分析.【类题·通】解决与平行有关的存在性问题的基本策略(1)假定题中的数学对象存在(或结论成立).(2)在这个前提下进行逻辑推理.①若能导出与条件吻合的数据或事实,说明假设成立,即存在,并可进一步证明;②若导出与条件或实际情况相矛盾的结果,则说明假设不成立,即不存在.【习练·破】如图,在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中,BD交AC于点E,F是PC中点,在线段AC上是否存在G,使FG∥平面PBD,若存在,说明点G的位置,并说明理由;若不存在,说明理由.【解析】存在.当点G是线段CE中点时,FG∥平面PBD.理由如下:连接PE,在△PCE中,F是PC的中点,G是EC的中点,所以FG∥PE,又FG⊄平面PBD,PE⊂平面PBD,所以FG∥平面PBD.【加练·固】如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别是棱B1C1,BB1,C1D1的中点,是否存在过点E,M且与平面A1FC平行的平面?若存在,请作出并证明;若不存在,请说明理由.【解析】如图,设N是棱C1C上的一点,且C1N=C1C时,平面EMN过点E,M且与平面A1FC平行.证明如下:设H为棱C1C的中点,连接B1H,D1H.因为C1N=C1C,所以C1N=C1H.又E为B1C1的中点,141412所以EN∥B1H.又CF∥B1H,所以EN∥CF.又EN⊄平面A1FC,CF⊂平面A1FC,所以EN∥平面A1FC.同理MN∥D1H,D1H∥A1F,所以MN∥A1F.又MN⊄平面A1FC,A1F⊂平面A1FC,所以MN∥平面A1FC.又EN∩MN=N,所以平面EMN∥平面A1FC.