2020-2021学年高中数学 第3章 指数函数和对数函数 3 指数函数 3.1 3.2 3.3 第

第三章指数函数和对数函数§3指数函数3.1指数函数的概念3.2指数函数y＝2x和y＝12x的图像和性质3.3指数函数的图像和性质第2课时指数函数的图像和性质的应用学习目标核心素养1.理解并掌握指数函数的图像与性质．(重点)2．掌握函数图像的简单变换．(易混点)3．能运用指数函数的有关性质去研究指数型函数的性质．(难点)1．通过函数图像的简单变换，培养直观想象素养．2．通过运用指数函数的有关性质的应用，培养数学抽象素养.自主预习探新知函数图像与性质的应用阅读教材P73从“问题提出”～P76“练习2”结束这部分内容，完成下列问题．(1)平移变换①左右平移：y＝f(x)――――――――→a0，左移a个单位长度a0，右移|a|个单位长度y＝．特征：左加右减；②上下平移：y＝f(x)――――――――→b0，上移b个单位长度b0，下移|b|个单位长度y＝.特征：上加下减．f(x)＋bf(x＋a)(2)对称变换①y＝f(x)――→关于x轴对称y＝；②y＝f(x)――→关于y轴对称y＝；③y＝f(x)――→关于原点对称y＝．－f(－x)f(－x)－f(x)(3)翻折变换①y＝f(x)―――――――――――――――→y轴左侧部分去掉，保留y轴右侧部分，把y轴右侧部分以y轴为对称轴翻折到y轴左侧y＝．②y＝f(x)――――――――――――――――――→x轴下侧部分去掉，保留x轴上侧部分，把x轴下侧部分以x轴为对称轴翻折到x轴上侧y＝.|f(x)|f(|x|)思考：(1)如何由y＝2x＋1的图像通过变换得到y＝2x的图像？(2)2x一定小于3x吗？[提示](1)先考虑由y＝2x的图像得到y＝2x＋1的图像，可向左平移1个单位长度；根据运动的相对性；由y＝2x＋1的图像得到y＝2x的图像，只需向右平移1个单位长度．(2)当x0时，23x1，∴2x3x；当x＝0时，23x＝1，∴2x＝3x，当x0时，23x1，∴2x3x.1．函数y＝2|x|的图像是()B[y＝2|x|＝2x，x≥012x，x0，故选B.]2．2.3－0.28________0.67－3.1.(填“”，“＝”，或“”)[2.3－0.282.30＝1＝0.6700.67－3.1.]3．已知0.2x25，则x的取值范围是________．x－2[由0.2x25，得5－x52，∴－x2，∴x－2.]4．若2a1，则a的取值范围是________．(0，＋∞)[y＝2x在R上为增函数，因为2a1＝20，所以a0.]合作探究释疑难与指数函数图像有关的图像变换【例1】已知f(x)＝2x，利用图像变换作出下列函数的图像．(1)f(x－1)；(2)f(x)－1；(3)f(－x)；(4)－f(x)．[思路探究]观察变换前后函数解析式之间的关系，确定变换的方法，再画出图像．[解](1)y＝f(x)――→右移1个单位长度y＝f(x－1)，如图①.(2)y＝f(x)――→下移1个单位长度y＝f(x)－1，如图②.(3)y＝f(x)――→关于y轴对称y＝f(－x)，如图③.(4)y＝f(x)――→关于x轴对称y＝－f(x)．如图④.1．平移规律分左、右平移和上、下平移两种，遵循“左加右减，上加下减”．若已知y＝ax的图像，把y＝ax的图像向左平移b(b0)个单位长度，则得到y＝ax＋b的图像；把y＝ax的图像向右平移b(b0)个单位长度，则得到y＝ax－b的图像；把y＝ax的图像向上平移b(b0)个单位长度，则得到y＝ax＋b的图像；向下平移b(b0)个单位长度，则得到y＝ax－b的图像．2．对称规律函数y＝ax的图像与y＝a－x的图像关于y轴对称；y＝ax的图像与y＝－ax的图像关于x轴对称；函数y＝ax的图像与y＝－a－x的图像关于坐标原点对称．[跟进训练]1．函数y＝|2x－2|的图像是()B[y＝2x――――→下移2个单位长度y＝2x－2――――――――→x轴上方的部分不变x轴下方的部分翻折到x轴上方y＝|2x－2|.故选B.]指数函数图像的应用【例2】讨论关于x的方程|2x－1|＝k解的个数．[思路探究]将其转化为函数y＝|2x－1|与y＝k交点的个数来求解．[解]函数y＝|2x－1|的图像如图：由图可知，当k0时，方程无解；当k＝0或k≥1时，方程有唯一解；当0k1时，方程有两个解．1．(变条件)讨论关于x的方程|2|x|－2|＝k解的个数．[解]函数y＝|2|x|－2|的图像如图：由图可知，当k0时，方程无解；当k＝0或k1时，方程有两个解；当k＝1时，方程有三个解；当0k1时，方程有四个解．2．(变结论)函数y＝|2x－1|在区间(－∞，k]上单调递减，求k的取值范围．[解]函数y＝|2x－1|的图像如图：由图知，函数y＝|2x－1|的递减区间是(－∞，0]，∴(－∞，k](－∞，0]，∴k≤0.方程fx＝k解的个数可转化为函数y＝fx与y＝k交点的个数来求解.有几个交点就有几个解.指数函数性质的应用[探究问题]1．求不等式2x1的解集．提示：2x1，即2x20，又y＝2x是R上的增函数，则x0，所以，不等式2x1的解集是(0，＋∞)．2．求不等式132x－19－x2的解集．提示：132x－19－x2，即132x－113x又y＝13x是R上的减函数，则2x－1x，解得x1.所以，原不等式的解集为(－∞，1)．【例3】求不等式a5xax＋8(a0，且a≠1)的解集．[思路探究]分a1或0a1两种情况，分别根据指数函数的单调性去掉底数a.[解]当a1时，由a5xax＋8，得5xx＋8，解得x2.当0a1时，由a5xax＋8，得5xx＋8，解得x2.综上所述，当a1时，不等式的解集为{x|x2}；当0a1时，不等式的解集为{x|x2}．解af(x)ag(x)(a0，且a≠1)此类不等式主要依据指数函数的单调性，它的一般步骤为：[跟进训练]2．已知ax＋5ax＋8，则a的取值范围是________．0a1[∵x＋5x＋8，∴y＝ax是减函数，∴0a1.]课堂小结提素养1．比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小，可运用指数型函数y＝ax的单调性．(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且cbn，则ambn；若amc且cbn，则ambn.2．指数型函数单调性的应用(1)形如y＝af(x)的函数的单调性：令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，则函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数．(2)形如axay的不等式，当a1时，axayxy；当0a1时，axayxy.1．思考辨析(1)要得到函数y＝f(x＋1)的图像，需将函数y＝f(x)的图像向右平移1个单位．()(2)将函数y＝f(x)的图像向下平移1个单位，得到函数y＝f(x)－1的图像．()(3)函数y＝3x与y＝－3x的图像关于x轴对称．()[答案](1)×(2)√(3)√2．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．bacC．cbaD．cabD[∵y＝0.8x是R上的减函数，∴0.80.70.80.9，即ab.又1.20.81.20＝1＝0.800.80.7，即ca，则cab.]3．关于x的不等式(2＋a2)|x|(2＋a2)2的解集是________．(－2,2)[∵2＋a21，∴y＝(2＋a2)x是R上的增函数，∴|x|2，∴－2x2]4．在同一坐标系内，画出y＝0.5x与y＝0.5－x的函数图像，并说明这对函数的相同性质，不同性质和它们之间的关系．[解]函数图像如图所示，(ⅰ)相同性质：两图像都在x轴的上方，都经过点(0,1)，定义域都是R，两函数的值域都是(0，＋∞)．(ⅱ)不同性质：y＝0.5－x的图像是上升的曲线，y＝0.5x的图像是下降的曲线，而函数y＝0.5－x在定义域是R上是增函数，y＝0.5x在定义域R上是减函数．(ⅲ)它们之间的关系：两函数图像关于y轴对称．Thankyouforwatching!