2020-2021学年高中数学 第2章 函数 4 二次函数性质的再研究 4.1 二次函数的图像课件

第二章函数§4二次函数性质的再研究4.1二次函数的图像学习目标核心素养1.理解y＝x2与y＝ax2(a≠0)，y＝ax2与y＝a(x＋h)2＋k及y＝ax2＋bx＋c的图像之间的关系．(重点)2．掌握a，h，k对二次函数图像的影响．(难点、易混点)1．通过作不同类型二次函数的图像，研究图像间的关系，培养直观想象素养．2．通过研究a，h，k对二次函数图像的影响，培养数学运算素养.自主预习探新知1．函数y＝x2与函数y＝ax2(a≠0)的图像间的关系阅读教材P41～P42第2自然段结束有关内容，完成下列问题．二次函数y＝ax2(a≠0)的图像可由y＝x2的图像各点的．其中a决定了图像的和在同一直角坐标系中的．横坐标不变，纵坐标变为原来的a倍得到开口方向开口大小思考1：函数y＝4x2的图像可由y＝x2的图像上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的4倍得到，还可以通过怎样的变换由y＝x2的图像得到y＝4x2的图像？[提示]因为y＝4x2＝(2x)2，所以y＝4x2的图像可由y＝x2的图像上各点横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变得到．思考2：对于函数y＝ax2(a≠0)，a越大，其图像开口越小吗？[提示]不一定小．例如函数y＝x2与y＝－x2的图像的开口大小相同，决定其开口大小的是|a|，|a|越大，开口越小．2．函数y＝ax2(a≠0)与函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像阅读教材P42第3自然段～P44的有关内容，完成下列问题．(1)y＝ax2――――――――――→h0向平移个单位h0，向平移个单位y＝a(x＋h)2――――――――→k0，向上平移k个单位k0，向下平移|k|个单位y＝a(x＋h)2＋k.|h|左h右(2)将二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方化为______________(a≠0)的形式，然后通过函数y＝ax2(a≠0)的图像左右、上下平移得到函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像．y＝a(x＋h)2＋k思考3：通过怎样的变换，可以由函数y＝x2的图像得到y＝2(x－1)2的图像？[提示]把函数y＝x2的图像上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2x2的图像；把函数y＝2x2的图像向右平移1个单位长度得到y＝2(x－1)2的图像．1．函数y＝2x(3－x)的图像可能是()B[由2x(3－x)＝0得x＝0或x＝3，可知图像与x轴的交点为(0,0)，(3,0)，排除A，C.又y＝2x(3－x)＝－2x2＋6x，所以图像开口向下，故排除D，因此选B.]2．把函数y＝x2的图像向下平移1个单位长度，将得到的函数图像上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到的函数解析式为()A．y＝2x2－1B．y＝2x2－2C．y＝2x2＋1D．y＝2x2＋2B[y＝x2→y＝x2－1→y＝2(x2－1)＝2x2－2.]3．二次函数y＝2x2与y＝－2x2的图像开口大小________，开口方向________．相同相反[由|2|＝|－2|，知二者开口大小相同；由20，－20，知二者开口方向相反．]4．下列二次函数图像开口，按从小到大的顺序排列为________．①f(x)＝14x2；②f(x)＝12x2；③f(x)＝－13x2；④f(x)＝－3x2.④②③①[依据|a|越大，开口越小，知从小到大的顺序排列为④②③①.]合作探究释疑难二次函数图像间的变换【例1】若把函数y＝x2－6x＋6图像的横坐标缩小到原来的12倍，得到图像C1，再把C1的纵坐标扩大到原来的2倍，得到图像为C2，试写出图像C2的解析式．[解]y＝x2－6x＋6――――→横坐标缩小到原来的12倍y＝(2x)2－12x＋6＝4x2－12x＋6――――→纵坐标扩大到原来的2倍y2＝4x2－12x＋6，即y＝8x2－24x＋12.所以图像C2的解析式为y＝8x2－24x＋12.1平移变换不改变图像的形状，只改变图像在坐标系中的位置.①x轴上平移，即把x换成x±kk0，左正右负；②y轴上平移，即把y换成y±hh0，下负上正.2伸缩变换改变图像的形状.①把横坐标变化到原来的ωω0且ω≠1倍，即把x换成xω.②把纵坐标变化到原来的λλ0且λ≠1倍，即把y换成yλ.[跟进训练]1．二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y＝x2－2x＋1的图像，则b＝________，c＝________.－66[二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的函数为y＝(x＋2)2＋b(x＋2)＋c＋3.整理得，y＝x2＋(b＋4)x＋7＋2b＋c，又y＝x2－2x＋1，则b＋4＝－2，7＋2b＋c＝1，解得b＝－6，c＝6，∴b＝－6，c＝6.]求二次函数的解析式【例2】已知二次函数的图像的顶点坐标是(1，－3)，且过点P(2,0)，求这个函数的解析式．[思路探究]已知二次函数的图像的顶点(1，－3)，可设其解析式为y＝a(x－1)2－3，再利用其图像过点(2,0)求a.[解]因为二次函数的图像的顶点坐标是(1，－3)，所以，可设其解析式为y＝a(x－1)2－3.又其图像过点P(2,0)，则a(2－1)2－3＝0，解得a＝3.所以，这个函数的解析式为y＝3(x－1)2－3.1．(变条件)已知二次函数的图像与x轴的交点为A(－1,0)和B(1,0)，且与y轴的交点为(0，－1)，求这个函数的解析式．[解]因为二次函数的图像与x轴的交点为A(－1,0)和B(1,0)，所以，可设其解析式为y＝a(x－1)(x＋1)．又其图像与y轴的交点为(0，－1)，则a(0－1)(0＋1)＝－1，解得a＝1.所以，这个函数的解析式为y＝(x－1)(x＋1)＝x2－1.2．(变条件)已知二次函数的图像过点A(1,1)，B(0,2)，C(3,5)，求这个函数的解析式．[解]设这个函数的解析式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意，得a＋b＋c＝1，c＝2，9a＋3b＋c＝5，∴a＝1，b＝－2，c＝2，所以，这个函数的解析式为y＝x2－2x＋2.用待定系数法求二次函数解析式的设法技巧,求二次函数的解析式，应根据已知条件的特点，灵活地选用解析式的形式，用待定系数法求之.1当已知抛物线上任意三点时，通常设所求二次函数为一般式y＝ax2＋bx＋ca，b，c为常数，a≠0，然后列出三元一次方程组求解.2当已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与最大小值时，则设所求二次函数为顶点式y＝ax＋h2＋k[其顶点是－h，k，a≠0].,3当已知二次函数图像与x轴的两个交点的坐标为x1，0，x2，0时，则设所求二次函数为两点式y＝ax－x1x－x2a≠0.二次函数图像的应用[探究问题]1．如何由二次函数的图像解不等式x2－2x－30?提示：画出函数y＝x2－2x－3的图像：观察图像得，不等式x2－2x－30的解集为(－1,3)．2．如何讨论关于x的方程x2－2|x|＝k解的个数．提示：令f(x)＝x2－2|x|，则f(x)＝x2－2x，x≥0，x2＋2x，x0.画出函数f(x)的图像因为方程x2－2|x|＝k解的个数为函数f(x)的图像与直线y＝k的交点个数．所以，当k－1时，方程无解；当k＝－1或k0时，方程有两个解；当k＝0时，方程有三个解；当－1k0时，方程有四个解．【例3】求函数f(x)＝x|x－1|的单调区间．[思路探究]画出函数f(x)的图像，通过观察函数的图像求其单调区间．[解]f(x)＝x|x－1|＝x2－x，x≥1，－x2＋x，x1.其图像如下：观察图像，得f(x)的递增区间是－∞，12，[1，＋∞)．递减区间是12，1.1．二次函数的图像是二次函数的直观表示，解决与二次函数相关的问题时，常借助其图像来求解．2．观察二次函数图像特征时，常考虑以下几个方面：①开口方向；②对称轴的位置；③顶点坐标；④与x轴公共点的个数．[跟进训练]2．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图像的一部分，图像过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1，给出下面四个结论：①b24ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5ab.其中正确的序号是________．①④[由该函数图像与x轴交于两点，得b24ac.①正确；因为对称轴为直线x＝－1，所以－b2a＝－1，即2a－b＝0.②错误；结合图像，当x＝－1时，y0，即a－b＋c0，③错误；因为图像开口向下，所以，a0，所以5a2a＝b.④正确．]课堂小结提素养1．画二次函数的图像，抓住抛物线的特征“三点一线一开口”．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．2．二次函数的图像变换规律(1)左右平移：只改变x，如y＝2x2――→向左平移1个单位y＝2(x＋1)2.规律：左加右减．(2)上下平移：只改变y，如y＝2x2――→上移1个单位y＝2x2＋1.规律：上加下减．(3)纵向伸缩：只改变y，如y＝x2＋1――――――――→横坐标不变纵坐标扩大2倍y＝2(x2＋1)．(4)横向伸缩：只改变x，如y＝f(x)＝ax2＋bx＋c――――――――→纵坐标不变，横坐标变为原来的ω倍y＝axω2＋bxω＋c.1．思考辨析(1)二次函数y＝3x2的开口比y＝x2的开口要大．()(2)要得到y＝－(x－2)2的图像，需要将y＝－x2向左平移2个单位长度．()(3)要得到y＝2(x＋1)2的图像，需将y＝2(x＋1)2－1的图像向上平移1个单位．()[解析](1)×，|a|越大，开口越小；(2)×，应向右平移2个单位长度；(3)√.[答案](1)×(2)×(3)√2．把函数y＝－2(x＋1)2＋3的图像向左平移1个单位长度，并把所得到的函数图像上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的12，所得到的函数的解析式为()A．y＝－(x＋2)2＋32B．y＝－(x＋2)2＋3C．y＝－x2＋32D．y＝－x2＋3A[y＝－2(x＋1)2＋3→y＝－2[(x＋1)＋1]2＋3＝－2(x＋2)2＋3→y＝12－2x＋22＋3＝－(x＋2)2＋32.]3．已知二次函数y＝f(x)的图像如图所示，则此函数的解析式为__________．y＝－34x2＋3[设y＝a(x＋2)(x－2)(a≠0)，因为其图像过点(0,3)，所以，a(0＋2)(0－2)＝3，解得，a＝－34.所以，此函数的解析式为y＝－34(x＋2)(x－2)＝－34x2＋3.]4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：x－3－2－10123y60－4－6－6－40求该函数的解析式．[解]由表可知该函数图像与x轴有两个交点(－2,0)，(3,0)，故该函数可设为y＝a(x＋2)(x－3)．又其图像过点(0，－6)，则－6a＝－6，解得a＝1.所以，该函数的解析式为y＝(x＋2)(x－3)＝x2－x－6.Thankyouforwatching!