2020-2021学年高中数学 第1章 数列 4 数列在日常经济生活中的应用课件 北师大版必修5

第一章数列§4数列在日常经济生活中的应用学习目标核心素养1．掌握单利、复利的概念．(重点)2．掌握零存整取、定期自动转存、分期付款三种模型及应用．(重点)3．掌握数列在日常经济生活中的应用．(难点)1．通过数列在日常生活中的应用，提升数学建模素养．2．通过数列在经济生活中的应用，提升数学运算素养．自主预习探新知数列在日常经济生活中的应用阅读教材P32～P34例3以上部分，完成下列问题：(1)三种常见的应用模型①零存整取：每月定时收入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部，这是整取，规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税)．本利和②定期自动转存：银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存．例如，储户某日存入一笔存期为1年的存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的．③分期付款：分期付款是购物的一种付款方式．即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求，分期付清．本利和(2)常用公式①复利公式：按复利计算的一种储蓄，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和S＝．②产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为r，对于时间x的总产值y＝．③单利公式：利息按单利计算，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和为S＝．P(1＋r)nN(1＋r)xP(1＋nr)思考：(1)数学中常见的定期存款利率计算方法有哪些？[提示]单利和复利两种方法．(2)建立数学模型的关键是什么？[提示]正确选取变量，并准确建立变量之间的数量关系．1．现存入银行10000元钱，年利率是3．60%，那么按照复利，第5年末的本利和是()A．10000×1．0363B．10000×1．0364C．10000×1．0365D．10000×1．0366C[由复利公式得S＝10000×(1＋3．60%)5＝10000×1．0365．]2．某产品计划每年成本降低q%，若三年后成本为a元，则现在的成本是()A．a(1＋q%)3B．a(1－q%)3C．a1－q%3D．a1＋q%3C[设现在的成本为x元，则有x(1－q%)3＝a．∴x＝a1－q%3．故选C．]3．过圆x2＋y2＝10x内一点(5,3)有k条弦的长度组成等差数列，且最短弦长为首项a1，最长弦长为末项ak，若公差d∈13，12，则k的取值不可能是()A．4B．5C．6D．7A[x2＋y2＝10x化简得(x－5)2＋y2＝25过点(5,3)的最短弦长为8，最长弦长为10，则由题意d＝10－8k－1＝2k－1∈13，12，5≤k≤7．]4．阿明存入5万元定期存款，存期1年，年利率为2．25%，那么10年后共得本息和为________万元．(精确到0．001)6．246[10年后的本息：a10＝5×(1＋0．0225)10≈6．246(万元)．]合作探究释疑难等差数列模型【例1】某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套住房实际花了多少钱？[解]因购房时付150万元，则欠款1000万元，依题意分20次付款，则每次付款的数额顺次构成数列{an}．则a1＝50＋1000×1%＝60，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59．5，a3＝50＋(1000－50×2)×1%＝59，a4＝50＋(1000－50×3)×1%＝58．5，…所以an＝50＋[1000－50(n－1)]×1%＝60－12(n－1)(1≤n≤20，n∈N＋)．所以{an}是以60为首项，－12为公差的等差数列．所以a10＝60－9×12＝55．5．所以第10个月应付55．5(万元)．a20＝60－19×12＝50．5．所以S20＝12×(a1＋a20)×20＝10×(60＋50．5)＝1105．所以实际共付1105＋150＝1255(万元)．1．按单利计算公式单利的计算仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为利息＝本金×利率×存期．2．按单利分期付款问题的三个关键问题(1)规定多少时间内付清全部款额．(2)在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同．(3)规定多长时间段结算一次利息，及在规定时间段内利息的计算公式．[跟进训练]1．某人在一年12个月中，每月10日向银行存入1000元，假设银行的月利率为5‰(按单利计算)，则到第二年的元月10日，此项存款一年的利息之和是()A．5(1＋2＋3＋…＋12)元B．5(1＋2＋3＋…＋11)元C．1000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)11]元D．1000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)12]元A[存款利息是以5为首项，5为公差的等差数列，12个月的存款利息之和为5(1＋2＋3＋…＋12)元，故选A．]等比数列模型【例2】某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2018年起，每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2028年年初将所有存款和利息全部取出，一共可以取回多少钱？[解]设从2018年年初到2028年年初每年存入a元的本利和组成数列{an}(1≤n≤10)．则a1＝a(1＋p)10，a2＝a(1＋p)9，…，a10＝a(1＋p)，故数列{an}(1≤n≤10)是以a1＝a(1＋p)10为首项，q＝11＋p为公比的等比数列．所以2028年初这个家庭应取出的钱数为S10＝a1＋p101－11＋p101－11＋p＝ap[(1＋p)11－(1＋p)](元)．1．复利问题的计算方法复利问题可以转化为等比数列问题，第n年的本息＝本金×(1＋利率)n．2．解决等比数列应用题的关键(1)认真审题抓特点，仔细观察找规律．(2)等比数列的特点是增加或减少的百分数相同．(3)分析数列的规律，一般需先写出数列的一些项加以考查．[跟进训练]2．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N＋)等于________．6[每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn＝21－2n1－2＝2n＋1－2．由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102．由于26＝64,27＝128，则n＋1≥7，即n≥6．]分期付款问题[探究问题]1．复利与单利的区别是什么？[提示](1)复利在第二次以后计算时，将上一次得到的利息也作为了本金，而单利每一次的计算都是将开始的本金作为本金计息．(2)单利和复利分别以等差数列和等比数列作为模型，即单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列．2．小明存入1万元定期存款，存期5年，年利率为2%，若按单利计算，5年后共获得本息和为多少元？若按复利计算，5年后共获得本息和多少元？[提示]按单利计算：5年后共获(1＋5×2%)＝1．1万元；按复利计算：5年后共获(1＋2%)5＝1．104万元．3．在实际问题中，涉及一组与顺序有关的数的问题时，应考虑用什么方法解决？解决此问题的关键是什么？[提示]在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑用数列方法解决，其关键是①弄清楚是什么数列；②分清首项、项数；③是求和还是求项等问题．【例3】某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案，一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案，每年贷款1万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前年多获利5千元．两种方案，使用期限都是十年，到期一次性归还本息，若银行贷款利息按年息10%的复利计算，比较两种方案，哪个获利更多？(计算数据精确到千元，1．110≈2．594,1．310≈13．786)思路探究：分清两种方案分别属于什么数列模型，然后分别建立不同数列模型解决．[解]方案甲：十年获利中，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为1＋30%，前10项和为S10＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9，所以S10＝1.310－11.3－1≈42．62(万元)．又贷款本息总数为10(1＋10%)10＝10×1．110≈25．94(万元)，甲方案净获利42．62－25．94≈16．7(万元)．乙方案获利构成等差数列，首项为1，公差为12，前10项和为T10＝1＋1＋12＋1＋2×12＋…＋1＋9×12＝10112＋12＝32．50(万元)，而贷款本息总数为1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝1．1×1.110－11.1－1≈17．53(万元)，乙方案净获利32．50－17．53≈15．0(万元)．比较两方案可得甲方案获利较多．1．(变条件)在例3中，若该企业还有两种技术改造的方案，丙方案：一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，以后每年比上一年增加25%的利润，丁方案：一次性贷款20万元，第一年获利是贷款额的15%，以后每年都比上一年增加利润1．5万元，两种方案使用期限都是10年，到期一次性还本付息，两种方案均按年息2%的复利计算．(参考数据：1．259≈7．45,1．2510≈9．3,1．029≈1．20,1．0210≈1．22)，试比较两种方案，哪种方案净获利更多？[解]方案丙：由题意知，每年的利润an成等比数列，且a1＝4，公比q＝1＋25%＝1．25，n＝10，收入S丙＝41－1.25101－1.25＝49.3－10.25＝132．8(万元)．净获利W丙＝132．8－40(1＋2%)10＝132．8－48．8＝84(万元)，方案丁：由题意，每年的利润记为数列{bn}，它是等差数列，且b1＝3，公差为1．5，n＝10，收入S丁＝10×3＋12×10×9×1．5＝30＋67．5＝97．5(万元)．净获利：W丁＝97．5－20(1＋2%)10＝97．5－24．4＝73．1(万元)所以方案丙净获利更多．2．(变结论)在例3中，设甲方案可贷款n年，按此方案技术改造第n年的累计净获利能够超过100万元，求n的最小值．(参考数据：1．314≈39．374,1．315≈51．186,1．114≈3．798,1．115≈4．178)[解]设按照甲方案进行技术改造，n年的累计净获利超过100万元，由题意知，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为1＋30%，前n项和为Sn＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)n－1＝1.3n－11.3－1＝103(1．3n－1)，又贷款本息总数为10(1＋10%)n＝10×1．1n，则甲方案的净获利为103(1．3n－1)－10×1．1n，由题意知103(1．3n－1)－10×1．1n＞100，经验证，当n＝14时，103(1．314－1)－10×1．114＝103(39．374－1)－10×3．798＝127．913－37．98＝89．933＜100，当n＝15时，103(1．315－1)－10×1．115＝103(51．186－1)－10×4．178＝167．287－41．78＝125．507＞100，所以n的最小值为15．1．等差、等比数列的应用题常见问题产量增减、价格的升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题，解决方法是建立数列模型，应用数列知识解决问题．2．将实际问题转化为数列问题时应注意(1)分清是等差数列还是等比数列．(2)分清是求an，还是求Sn，特别要准确确定项数n．(3)递推关系的发现是数列建模的重要方式．课堂小结提素养1．等差、等比数列的应用题常见于产量增减、价格升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题，解决方案是建立数列模型，应用数列知识解决问题．2．银行存款中的单利是等差数列模型，本利和公式为S＝P(1＋nr)；复利是等比数列模型，本利和公式为S＝P(1＋r)n．(其中P为本金，r为利率，n为期数)3．等额本息分期付款是等比数列求和问题