您好,欢迎访问三七文档
第一章三角函数§1数列1.3三角函数的诱导公式第2课时公式五和公式六学习目标核心素养1.了解角π2-α与角α的对称性,能借助单位圆,利用定义推导出公式五、公式六.2.能够准确记忆公式五和公式六.(重点、易混点)3.灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明.(难点)1.通过对公式五、公式六的推导,提升学生的素养.2.通过诱导公式的应用,培养学生的数学运算直观抽象和逻辑推理素养.自主预习探新知1.公式五(1)角π2-α与角α的终边关于直线对称,如图所示.(2)公式:sinπ2-α=,cosπ2-α=.y=xcosαsinα2.公式六(1)公式五与公式六中角的联系π2+α=.(2)公式:sinπ2+α=,cosπ2+α=.π-π2-αcosα-sinα思考:如何由公式四及公式五推导公式六?[提示]sinπ2+α=sinπ-π2-α=sinπ2-α=cosα,cosπ2+α=cosπ-π2-α=-cosπ2-α=-sinα.注意:公式六的坐标法推导方法设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),则sinα=y,cosα=x,而角π2-α的终边与单位圆交于点P′,则,因为π2-α与π2+α关于y轴对称,所以π2+α的终边与单位圆交于点.所以sinπ2+α==cosα,cosπ2+α==-sinα.P′(y,x)(-y,x)-yx1.化简:sin92π+x=()A.sinxB.cosxC.-sinxD.-cosxB[sin9π2+x=sinπ2+x=cosx.]2.若α∈π,3π2,则1-sin23π2-α=()A.sinαB.-sinαC.cosαD.-cosαB[∵sin3π2-α=-cosα,又∵α∈π,3π2,∴1-sin23π2-α=1-cos2α=|sinα|=-sinα.]3.计算:sin211°+sin279°=.1[因为11°+79°=90°,所以sin79°=cos11°,所以原式=sin211°+cos211°=1.]4.化简sin3π2+α=.-cosα[sin3π2+α=sinπ+π2+α=-sinπ2+α=-cosα.]合作探究释疑难利用诱导公式化简求值[探究问题]1.公式一~四与公式五~六的主要区别是什么?提示:公式一~四中函数名称不变,公式五~六中函数名称改变,在应用诱导公式中注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”.即针对统一的诱导公式形式“k·90°±α(k∈Z)”或“k·π2±α(k∈Z)”中的k而言.2.解决给值求值问题的策略是什么?提示:(1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.(2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.【例1】(1)已知cos31°=m,则sin239°tan149°的值是()A.1-m2mB.1-m2C.-1-m2mD.-1-m2(2)已知sinπ3-α=12,则cosπ6+α的值为.思路点拨:(1)(2)(1)B(2)12[(1)sin239°tan149°=sin(180°+59°)·tan(180°-31°)=-sin59°(-tan31°)=-sin(90°-31°)·(-tan31°)=-cos31°·(-tan31°)=sin31°=1-cos231°=1-m2.(2)cosπ6+α=cosπ2-π3-α=sinπ3-α=12.]1.将例1(2)的条件中的“-”改为“+”,求cos5π6+α的值.[解]cos5π6+α=cosπ2+π3+α=-sinπ3+α=-12.2.将例1(2)增加条件“α是第二象限角”,求sin7π6+α的值.[解]因为α是第二象限角,所以-α是第三象限角,又sinπ3-α=12,所以π3-α是第二象限角,所以cosπ3-α=-32,所以sin7π6+α=sinπ+π6+α=-sinπ6+α=-cosπ3-α=32.诱导公式应用中解决给值求值的一般步骤1定关系:确定已知角与所求角之间的关系,一般常见的互余关系有:与;与;与等.常见的互补关系有:与;+α与等.2定公式:依据确定的关系,选择要使用的诱导公式.3得结论:根据选择的诱导公式,得到已知值和所求值之间的关系,从而得到答案.利用诱导公式证明恒等式【例2】(1)求证:sinθ+cosθsinθ-cosθ=2sinθ-3π2cosθ+π2-11-2sin2π+θ.(2)求证:cos6π+θsin-2π-θtan2π-θcos3π2+θsin3π2+θ=-tanθ.[证明](1)右边=-2sin3π2-θ·-sinθ-11-2sin2θ=2sinπ+π2-θsinθ-11-2sin2θ=-2sinπ2-θsinθ-11-2sin2θ=-2cosθsinθ-1cos2θ+sin2θ-2sin2θ=sinθ+cosθ2sin2θ-cos2θ=sinθ+cosθsinθ-cosθ=左边,所以原等式成立.(2)左边=cosθsin-θtan-θcosπ2+θsinπ2+θ=cosθsinθtanθ-sinθcosθ=-tanθ=右边,所以原等式成立.三角恒等式的证明策略1遵循的原则:在证明时一般从左边到右边,或从右边到左边,或左右归一,总之,应遵循化繁为简的原则.2常用的方法:定义法,化弦法,拆项拆角法,公式变形法,“1”的代换法.[跟进训练]1.求证:cos5π2+xsinx-5π2tan6π-x=-1.[证明]因为cos5π2+xsinx-5π2tan6π-x=cos2π+π2+xsinx-π2-2πtan-x=cosπ2+x-sinx-π2tanx=-sinxcosxtanx=-1=右边,所以原等式成立.诱导公式的综合应用【例3】已知sinα是方程5x2-7x-6=0的根,α是第三象限角,求sin-α-32πcos32π-αcosπ2-αsinπ2+α·tan2(π-α)的值.思路点拨:解方程并根据sinα的取值范围确定sinα的值→由同角三角函数关系式求cosα,tanα→用诱导公式化简→求值[解]方程5x2-7x-6=0的两根为x1=-35,x2=2,因为-1≤sinα≤1,所以sinα=-35.又α是第三象限角,所以cosα=-45,tanα=sinαcosα=34,所以sin-α-32πcos32π-αcosπ2-αsinπ2+α·tan2(π-α)=sinπ2-αcosπ2+αsinαcosα·tan2α=cosα-sinαsinαcosα·tan2α=-tan2α=-916.诱导公式综合应用要“三看”一看角:①化大为小;②看角与角之间的联系,可通过相加、相减分析两角的关系.二看函数名称:一般是弦切互化.三看式子结构:通过分析式子,选择合适的方法,如分式可对分子分母同乘一个式子变形.[跟进训练]2.已知sin(π-α)-cos(π+α)=23π2<α<π,求下列各式的值:(1)sinα-cosα;(2)sin3π2-α+cos3π2+α.[解]由sin(π-α)-cos(π+α)=23,得sinα+cosα=23①,将①两边同时平方,得1+2sinα·cosα=29,故2sinα·cosα=-79.又π2<α<π,∴sinα>0,cosα<0.(1)∵(sinα-cosα)2=1-2sinα·cosα=1--79=169,∴sinα-cosα=43.(2)sin3π2-α+cos3π2+α=cos3α-sin3α=(cosα-sinα)(cos2α+cosα·sinα+sin2α)=-43×1-718=-2227.课堂小结提素养1.诱导公式一~六可以统一概括为“k·π2±α(k∈Z)”的形式.当k为偶数时,得α的同名函数值;当k为奇数时,得α的异名函数值,然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“奇变偶不变,符号看象限”.2.利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值,常采用“负角化正角,大角化小角,最后转化成0,π2内的三角函数值”这种方式求解.用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到π2之间的角的三角函数的基本步骤:1.下列与sinθ的值相等的是()A.sin(π+θ)B.sinπ2-θC.cosπ2-θD.cosπ2+θC[sin(π+θ)=-sinθ;sinπ2-θ=cosθ;cosπ2-θ=sinθ;cosπ2+θ=-sinθ.]2.sin95°+cos175°的值为()A.sin5°B.cos5°C.0D.2sin5°C[sin95°=cos5°,cos175°=-cos5°,故sin95°+cos175°=0.]3.已知cosα=15,且α为第四象限角,那么cosα+π2=.265[因为cosα=15,且α为第四象限角,所以sinα=-1-cos2α=-265,所以cosα+π2=-sinα=265.]4.化简:sin-α-3π2·sin3π2-α·tan22π-αcosπ2-α·cosπ2+α·cos2π-α.[解]原式=sin-α+π2·-sinπ2-α·tan22π-αcosπ2-α·cosπ2+α·cos2π-α=cosα·-cosα·tan2αsinα·-sinα·cos2α=tan2αsin2α=1cos2α.Thankyouforwatching!
本文标题:2020-2021学年高中数学 第1章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 第2课时 公式五和公式
链接地址:https://www.777doc.com/doc-8239040 .html