2019新教材高中数学 第五章 三角函数 5.4 三角函数的图象与性质 5.4.2 课时作业49 正

课时作业49正、余弦函数的周期性、奇偶性课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练知识对点练知识对点练课时综合练知识点一周期函数1.下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是()答案D答案知识对点练课时综合练解析显然D中函数图象不是经过相同单位长度，图象重复出现．而A，C中每经过一个单位长度，图象重复出现．B中图象每经过2个单位长度，图象重复出现．所以A，B，C中函数是周期函数，D中函数不是周期函数．解析知识对点练课时综合练2．下列函数中，周期为π2的是()A．y＝sinx2B．y＝sin2xC．y＝cosx4D．y＝cos4x解析选项A，周期T＝2π12＝4π；选项B，周期T＝2π2＝π；选项C，周期T＝2π14＝8π；选项D，周期T＝2π4＝π2.解析答案D答案知识对点练课时综合练3．已知f(n)＝sinnπ4(n∈Z)，那么f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝________.解析∵f(n)＝sinnπ4(n∈Z)，∴f(1)＝22，f(2)＝1，f(3)＝22，f(4)＝0，f(5)＝－22，f(6)＝－1，f(7)＝－22，f(8)＝0，…，不难发现，f(n)＝sinnπ4(n∈Z)的周期T＝8，且每一个周期内的函数值之和为0.∴f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝f(97)＋f(98)＋f(99)＋f(100)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝22＋1＋22＋0＝2＋1.解析答案2＋1答案知识对点练课时综合练4．求下列函数的周期：(1)y＝2sin12x＋π6，x∈R；(2)y＝1－2cosπ2x，x∈R；(3)y＝|sinx|，x∈R.知识对点练课时综合练解(1)∵2sin12x＋4π＋π6＝2sin12x＋π6＋2π＝2sin12x＋π6，∴自变量x只需并且至少要增加到x＋4π，函数y＝2sin12x＋π6，x∈R的值才能重复出现，∴函数y＝2sin12x＋π6，x∈R的周期是4π.答案知识对点练课时综合练(2)∵1－2cosπ2x＋4＝1－2cosπ2x＋2π＝1－2cosπ2x，∴自变量x只需并且至少要增加到x＋4，函数y＝1－2cosπ2x，x∈R的值才能重复出现，∴函数y＝1－2cosπ2x，x∈R的周期是4.(3)作图如下：观察图象可知最小正周期为π.答案知识对点练课时综合练知识点二三角函数的奇偶性5.函数f(x)＝sinx1＋cosx的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数答案A答案知识对点练课时综合练解析由题意知1＋cosx≠0，即cosx≠－1.所以函数f(x)的定义域为{x|x≠2kπ＋π，k∈Z}，定义域关于原点对称．因为f(－x)＝sin－x1＋cos－x＝－sinx1＋cosx＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选A．解析知识对点练课时综合练6．函数y＝|sinx|1－sinx1－sinx的奇偶性为()A．奇函数B．既是奇函数又是偶函数C．偶函数D．非奇非偶函数答案D答案知识对点练课时综合练解析由题意知，1－sinx≠0，即sinx≠1，所以函数的定义域为xx≠2kπ＋π2，k∈Z，由于定义域关于原点不对称，所以该函数是非奇非偶函数．解析知识对点练课时综合练7．已知函数f(x)＝ax＋bsinx＋1，若f(2019)＝7，则f(－2019)＝________.解析由f(2019)＝2019a＋bsin2019＋1＝7，得2019a＋bsin2019＝6，∴f(－2019)＝－2019a－bsin2019＋1＝－(2019a＋bsin2019)＋1＝－6＋1＝－5.解析答案－5答案课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练课时综合练知识对点练课时综合练一、选择题1．函数f(x)＝sin2x－π2是()A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为π2的奇函数D．周期为π2的偶函数解析f(x)＝－sinπ2－2x＝－cos2x，则f(－x)＝f(x)，故是偶函数，且周期为π，选B．解析答案B答案知识对点练课时综合练2．若函数f(x)＝sinx＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝()A．π2B．2π3C．3π2D．5π3答案C答案知识对点练课时综合练解析∵f(x)＝sinx＋φ3是偶函数，∴f(0)＝±1.∴sinφ3＝±1.∴φ3＝kπ＋π2(k∈Z)．∴φ＝3kπ＋3π2(k∈Z)．又∵φ∈[0,2π]，∴当k＝0时，φ＝3π2.故选C．解析知识对点练课时综合练3．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是()A．y＝cos|2x|B．y＝|sinx|C．y＝sinπ2＋2xD．y＝cos3π2－2x解析y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sinx|是偶函数，y＝sinπ2＋2x＝cos2x是偶函数，y＝cos3π2－2x＝－sin2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.解析答案D答案知识对点练课时综合练4．定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈0，π2时，f(x)＝sinx，则f5π3等于()A．－12B．12C．－32D．32解析f5π3＝f5π3－π＝f2π3＝f2π3－π＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝32.解析答案D答案知识对点练课时综合练5．设函数f(x)＝sin3x＋|sin3x|，则f(x)为()A．周期函数，最小正周期为π3B．周期函数，最小正周期为2π3C．周期函数，最小正周期为2πD．非周期函数答案B答案知识对点练课时综合练解析f(x)＝0，sin3x≤0，2sin3x，sin3x0，大致图象如图所示，由图可知f(x)为周期函数，最小正周期为2π3.解析知识对点练课时综合练二、填空题6．函数y＝sinωx＋π4的最小正周期为2，则ω的值为________．解析T＝2π|ω|＝2，∴|ω|＝π，∴ω＝±π.解析答案±π答案知识对点练课时综合练7．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sinx，则f(x)的解析式为________．解析当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＝sin(－x)＝－sinx，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝－sinx，即f(x)＝sinx，x≥0，－sinx，x＜0.解析答案f(x)＝sinx，x≥0，－sinx，x＜0答案知识对点练课时综合练8．设函数f(x)＝sinπ3x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝________.解析∵f(x)＝sinπ3x的周期T＝2ππ3＝6.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＝336sinπ3＋sin2π3＋sinπ＋sin4π3＋sin5π3＋sin2π＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＝336×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝sinπ3＋sin2π3＋sinπ＝3.解析答案3答案知识对点练课时综合练三、解答题9．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)f(x)＝1，求证：f(x)是周期函数．证明∵f(x＋2)＝1fx，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝1fx＋2＝11fx＝f(x)．∴函数f(x)是周期函数，4是一个周期．答案知识对点练课时综合练10．已知函数f(x)＝cos2x＋π3，若函数g(x)的最小正周期是π，且当x∈－π2，π2时，g(x)＝fx2，求关于x的方程g(x)＝32的解集．解当x∈－π2，π2时，g(x)＝fx2＝cosx＋π3.因为x＋π3∈－π6，5π6，所以由g(x)＝32解得x＋π3＝－π6或π6，即x＝－π2或－π6.又因为g(x)的最小正周期为π.所以g(x)＝32的解集为{xx＝kπ－π2或x＝kπ－π6，k∈Z.答案