2019新教材高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式 课时作业13 基本不

课时作业13基本不等式的应用课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练知识对点练知识对点练课时综合练知识点一用基本不等式求最值1.若点(a，b)在直线x＋2y＝3上移动，则2a＋4b的最小值是()A．8B．6C．42D．32解析点(a，b)在直线x＋2y＝3上，则a＋2b＝3，所以2a＋4b＝2a＋22b≥22a＋2b＝223＝42，当且仅当a＝2b＝32时等号成立．故选C.解析答案C答案知识对点练课时综合练2．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()A.13B.12C.34D.23解析由x(3－3x)＝13×3x(3－3x)≤13×3x＋3－3x22＝13×94＝34，当且仅当3x＝3－3x，即x＝12时等号成立．解析答案B答案知识对点练课时综合练3．已知x，y均为正实数，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．答案3答案知识对点练课时综合练解析xy＝12×x3·y4≤12×(x3＋y42)2＝12×122＝3，当且仅当x3＝y4＝12，即x＝32，y＝2时，等号成立，所以xy的最大值为3.解析知识对点练课时综合练知识点二基本不等式的实际应用4.某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为()A．200件B．5000件C．2500件D．1000件答案D答案知识对点练课时综合练解析设进货n次，则每次的进货量为10000n，一年的运费和租金为y元．根据题意得y＝100n＋10000n≥2000，当且仅当n＝10时取等号，此时每次进货量应为1000件．故选D.解析知识对点练课时综合练5．如图，公园想建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x米墙．(1)求x的取值范围；(2)求最少需要多少米铁丝网(精确到1米)．知识对点练课时综合练解(1)由于矩形草地的面积是144平方米，一边长是x米，则另一边长为144x米，则矩形草地所需铁丝网长度为y＝x＋2×144x.令y＝x＋2×144x≤44(x＞0)，解得8≤x≤36.则x的取值范围是0≤x≤36.答案知识对点练课时综合练(2)由基本不等式，得y＝x＋288x≥242.当且仅当x＝288x，即x＝122时，等号成立，则y最小值＝242≈34.即最少需要约34米铁丝网．答案知识对点练课时综合练易错点忽略等号成立的一致性6.已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值．易错分析易错解为1x＋1y＝(x＋2y)1x＋1y≥22xy·21xy＝42.在求解过程中使用了两次基本不等式：x＋2y≥22xy，1x＋1y≥21xy，但这两次取“＝”分别需满足x＝2y与x＝y，自相矛盾，所以“＝”取不到．知识对点练课时综合练正解∵x＋2y＝1，x＞0，y＞0，∴1x＋1y＝(x＋2y)1x＋1y＝3＋xy＋2yx≥3＋22，当且仅当xy＝2yx，即x＝2y时，取“＝”.由x＋2y＝1，x＝2y，解得x＝2－1，y＝1－22.∴当且仅当x＝2－1，y＝1－22时，1x＋1y有最小值，为3＋22.答案课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练课时综合练知识对点练课时综合练一、选择题1．已知正数x，y满足8x＋1y＝1，则x＋2y的最小值是()A．18B．16C．8D．10解析x＋2y＝(x＋2y)8x＋1y＝10＋16yx＋xy≥10＋216＝18，当且仅当16yx＝xy，即x＝4y时，等号成立．解析答案A答案知识对点练课时综合练2．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为()A．16B．25C．9D．36解析(1＋x)(1＋y)≤1＋x＋1＋y22＝2＋x＋y22＝2＋822＝25，当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25.故选B.解析答案B答案知识对点练课时综合练3．函数y＝xx＋1的最大值为()A.25B.12C.22D．1答案B答案知识对点练课时综合练解析令t＝x(t≥0)，则x＝t2，∴y＝xx＋1＝tt2＋1.当t＝0时，y＝0；当t＞0时，y＝1t2＋1t＝1t＋1t.∵t＋1t≥2，∴0＜1t＋1t≤12，当且仅当t＝1时，等号成立．∴y的最大值为12.解析知识对点练课时综合练4．已知a，b，c都是正数，且a＋2b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值是()A．3＋22B．3－22C．6－42D．6＋42答案D答案知识对点练课时综合练解析1a＋1b＋1c＝1a＋1b＋1c(a＋2b＋c)＝4＋2ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋2bc≥4＋22ba·ab＋2ca·ac＋2cb·2bc＝6＋42，当且仅当2ba＝ab，ca＝ac，cb＝2bc时，等号成立，即a2＝c2＝2b2时，等号成立．解析知识对点练课时综合练5．设a＞b＞0，则a2＋1ab＋1aa－b的最小值是()A．1B．2C．3D．4答案D答案知识对点练课时综合练解析a2＋1ab＋1aa－b＝a2－ab＋ab＋1ab＋1aa－b＝a(a－b)＋ab＋1ab＋1aa－b≥2aa－b·1aa－b＋2ab·1ab＝4，当且仅当a(a－b)＝1aa－b且ab＝1ab即a＝2b＝2时，等号成立．故选D.解析知识对点练课时综合练二、填空题6．当x＜54时，函数y＝4x－2＋14x－5的最大值为________．答案1答案知识对点练课时综合练解析∵x＜54，∴4x－5＜0，∴y＝4x－5＋14x－5＋3＝－5－4x＋15－4x＋3≤－25－4x·15－4x＋3＝1，当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立．解析知识对点练课时综合练7．已知m＞0，n＞0，则当81m2＋n2＋7298mn取得最小值时，m－n的值为________．答案－4答案知识对点练课时综合练解析依题意，81m2＋n2＋7298mn≥18mn＋7298mn≥81，当且仅当9m＝n，18mn＝7298mn⇒9m＝n，mn＝94⇒m＝12，n＝92时等号成立，此时m－n＝－4.解析知识对点练课时综合练8．建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．答案1760答案知识对点练课时综合练解析设水池池底的一边长为xm，则其邻边长为4xm，则总造价为：y＝120×4＋80×2x＋2×4x×2＝480＋320x＋4x≥480＋320×2x×4x＝1760.当且仅当x＝4x即x＝2时，y取最小值1760.所以水池的最低总造价为1760元．解析知识对点练课时综合练三、解答题9．若对任意x＞0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，求a的取值范围．解设y＝xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3，∵x＞0，∴x＋1x≥2，当且仅当x＝1时，等号成立．∴y≤15，即ymax＝15.∴a≥15.答案知识对点练课时综合练10．某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(也是该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－km＋1(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．预计2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)设2019年该产品的利润为y万元，将y表示为m的函数；(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时获得的利润最大？知识对点练课时综合练解(1)由题意，知当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k，即k＝2.∴x＝3－2m＋1.又每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx元，∴y＝x1.5×8＋16xx－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m＝4＋83－2m＋1－m＝28－16m＋1－m(m≥0)．答案知识对点练课时综合练(2)y＝28－16m＋1－m＝29－m＋1＋16m＋1，∵m≥0，∴(m＋1)＋16m＋1≥216＝8，当且仅当16m＋1＝m＋1，即m＝3时等号成立，∴y≤29－8＝21，即当m＝3时，ymax＝21.∴该厂家2019年的促销费用投入为3万元时获得的利润最大，最大利润为21万元．答案