2019秋高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用课件 新人教A版必修4

第一章三角函数1．6三角函数模型的简单应用[学习目标]1.了解三角函数是描述周期性变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题(重点)．2.通过观察、分析已知数据，能建立三角函数模型来刻画实际问题并解决实际问题(重点、难点)．[知识提炼·梳理]1．三角函数模型的作用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画变化规律、预测其未来方面发挥着重要作用．2．y＝|sinx|的最小正周期为π，y＝|tanx|的最小正周期为π．3．三角函数模型的建立程序温馨提示实际问题中，变量常常有一定范围．因此，归结为数学模型后，要注意标出自变量的限制范围．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角函数模型是描述周期变化现象的重要函数模型．()(2)在研究具体问题时，我们常常利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”来获得相应的函数模型．()(3)函数y＝|cosx|的图象是以2π为周期的波浪形曲线．()答案：(1)√(2)√(3)×2.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将移至()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期．答案：C3．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin100πt＋π3，则当t＝1200s时，电流强度I为()A．5AB．2.5AC．2AD．－5A解析：当t＝1200时，I＝5sinπ2＋π3＝5cosπ3＝2.5.答案：B4．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(厘米)和时间t(秒)的函数关系为s＝3sinπ2t＋π3，那么单摆来回摆的振幅为________厘米，一次所需的时间为________秒．解析：因为s＝3sinπ2t＋π3，所以振幅为A＝3(厘米)，周期T＝2ππ2＝4(秒)．答案：345．已知某种交变电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝52sin100πt－π2，t∈[0，＋∞)，则这种交变电流的频率为________．解析：周期T＝150s，所以频率为每秒50次．答案：50类型1三角函数在物理中的应用[典例1]已知如图所示是电流强度I与时间t的关系I＝Asin(ωt＋φ)(A0，ω0)的图象．(1)试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式．(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)(A0，ω0)中t在任意一段1100秒的时间内电流强度I能同时取得最大值A与最小值－A，那么正整数ω的最小值是多少？解：(1)由题图知，A＝300.T＝160－－1300＝150，所以ω＝2πT＝100π.因为－1300，0是该函数图象的第一个点(五点作图法)，所以－φω＝－1300，所以φ＝ω300＝π3，所以I＝300sin100πt＋π3(t≥0)．(2)问题等价于T≤1100，即2πω≤1100，所以ω≥200π，所以最小的正整数ω为629.归纳升华1．常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．2．明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．[变式训练]如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是()A．该质点的振动周期为0.7sB．该质点的振幅为5cmC．该质点在0.1s和0.5s时的振动速度最大D．该质点在0.3s和0.7s时的速度为零解析：振动周期为2×(0.7－0.3)＝0.8s，故A错误；该质点的振幅是5cm，故B对；该质点在0.1s、0.5s时速度为0，在0.3s，0.7s时速度最大．答案：B类型2三角函数模型的简单实际应用[典例2]已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sinπ8x－5π4＋20，x∈[4，16]．(1)求该地区这一段时间内的最大温差．(2)若有一种细菌在15℃到25℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？解：(1)x∈[4，16]，则π8x－5π4∈－3π4，3π4.由函数解析式易知，当π8x－5π4＝π2，即x＝14时，函数取最大值，最大值为30，即最高温度为30℃，当π8x－5π4＝－π2，即x＝6时，函数取最小值，最小值为10，即最低温度为10℃，所以最大温差为30－10＝20(℃)．(2)令10sinπ8x－5π4＋20＝15，可得sinπ8x－5π4＝－12，而x∈[4，16]，所以x＝263.令10sinπ8x－5π4＋20＝25，可得sinπ8x－5π4＝12，而x∈[4，16]，所以x＝343.故该细菌在这段时间内能存活343－263＝83(小时)．归纳升华解三角函数应用问题的基本步骤[变式训练]如图所示，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sinπ6x＋φ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A．5B．6C．8D．10解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.答案：C类型3数据拟合问题[典例3]某“海之旅”表演队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：时)而周期性变化．为了了解变化规律，该队观察若干天后，得到每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：t/时03691215182124y/米1.01.41.00.61.01.40.90.41.0(1)试画出散点图；(2)观察散点图，从y＝ax＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b，y＝Acos(ωt＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式．解：(1)散点图如图所示．(2)由散点图可知，选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b函数模型较为合适．由图可知，A＝1.4－0.62＝25，T＝12，b＝1.4＋0.62＝1.则ω＝2π12＝π6，y＝25sinπ6t＋φ＋1.把t＝0代入，得π6×0＋φ＝0，即φ＝0.所以y＝25sinπt6＋1(0≤t≤24)．归纳升华处理曲线拟合与预测问题的常用步骤1．根据原始数据，画出散点图；2．通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；3．求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式；4．利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测，以便为决策和管理提供依据．[变式训练]下表是芝加哥1951－1981年月平均气温(单位：华氏)．月份123456平均气温21.426.036.048.859.168.6月份789101112平均气温73.071.964.753.539.827.7以月份为x轴，x＝月份－1，以平均气温为y轴．(1)描出散点图．(2)用正弦曲线去拟合这些数据．(3)这个函数的周期是多少？(4)估计这个正弦曲线的振幅A.(5)选择下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？①yA＝cosπx6；②y－46A＝cosπx6；③y－46－A＝cosπx6；④y－26A＝sinπx6.解：(1)(2)如图所示．(3)1月份的气温最低为21.4，7月份的气温最高为73.0，根据图知，T2＝7－1＝6，所以T＝12.(4)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，所以A＝25.8.(5)因为x＝月份－1，所以不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，代入①，得yA＝26.025.8＞1≠cosπ6，所以①错误；代入②，得y－46A＝26.0－4625.8＜0≠cosπ6；所以②错误；同理④错误．所以③最适合这些数据．1．常见的三角函数应用题的三种类型：(1)给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题．(2)给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题．(3)整理一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题．2．三角函数模型构建的步骤：(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象；(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合；(3)利用三角函数模型解决实际问题；(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．3．一般地，所求出的函数模型只能近似地刻画实际情况，因此应特别注意自变量的取值范围.